`a)` `O` tâm đường tròn đường kính $AB$

`=>O` là trung điểm $AB$

`=>CO` là trung tuyến $∆ABC$

Mà `CO=AO=BO=R=1/ 2AB`

`=>∆ABC` vuông tại $C$ (∆ có trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện là ∆ vuông)

`=>BC`$\perp AC$

Mà $OH\perp AC$ (gt)

`=>OH`//$BC$

$\\$

Xét $∆ABC$ có:

`\qquad OH`//$BC$

`\qquad O` là trung điểm $AB$

`=>H` là trung điểm $AC$ ($OH$ là đường trung bình $∆ABC$)

`=>HA=HC` (đpcm)

$\\$

`b)` $∆OAC$ có $OA=OC=R$

`=>∆OAC` cân tại $O$

`=>OH` vừa là đường cao và phân giác 

`=>OH` là phân giác `\hat{AOC}`

`=>\hat{DOC}=\hat{DOA}`

$\\$

Xét $∆DOC$ và $∆DOA$ có:

`\qquad OD` là cạnh chung 

`\qquad \hat{DOC}=\hat{DOA}` (c/m trên)

`\qquad OC=OA`

`=>∆DOC=∆DOA` (c-g-c)

`=>\hat{DCO}=\hat{DAO}`

Mà `\hat{DAO}=90°` (do $DA$ là tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$)

`=>\hat{DCO}=90°`

`=>DC`$\perp OC$

`=>DC` là tiếp tuyến tại $C$ của $(O)$ (đpcm)

$\\$

`c)` `O` là trung điểm $AB$

`=>EO` là trung tuyến $∆EAB$

Mà `EO=AO=BO=R=1/ 2AB`

`=>∆EAB` vuông tại $E$ (∆ có trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện là ∆ vuông)

`=>AE`$\perp DB$ tại $E$

$\\$

Xét $∆ADB$ vuông tại $A$ đường cao $AE$

`=>AD^2=DE.DB` (hệ thức lượng) $(1)$

$\\$

Xét $∆ADO$ vuông tại $A$ có $AH\perp DO$

`=>AD^2=DH.DO` (hệ thức lượng) $(2)$

$\\$

Từ `(1);(2)=>DH.DO=DE.DB` (đpcm)

`=>{DH}/{DB}={DE}/{DO}`

$\\$

Xét $∆DHE$ và $∆DBO$ có:

`\qquad \hat{D}` chung

`\qquad {DH}/{DB}={DE}/{DO}`

`=>∆DHE∽∆DBO` (c-g-c)

`=>\hat{DHE}=\hat{DBO}`

`=>\hat{DHE}=\hat{DBA}` (đpcm)

$\\$

`d)` Gọi $P$ là giao điểm của $AM$ và $OD$

Vì $OH$//$BC$ (câu a)

`=>HP`//$CM$

Xét $∆AMC$ có:

$\quad HP$//$CM$

`\qquad H` là trung điểm $AC$

`=>P` là trung điểm $AM$ ($PE$ là đường trung bình $∆AMF$) `=>{AP}/{AM}=1/2`

Mà ` E` là trung điểm $AF$ (gt)

`=>PE` là đường trung bình $∆AMF$

`=>PE`//$MF$; `PE=1/2 MF` $(3)$

$\\$

Gọi $Q$ là giao điểm của $EP$ và $KA$

Xét $∆AMK$ có $PQ$//$MK$ (do $PE$//$MF$)

`=>{PQ}/{MK}={AP}/{AM}=1/ 2` (hệ quả định lý Talet)

`=>PQ=1/ 2 MK` $(4)$

$\\$

Vì $FK\perp KA; AB\perp KA$

`=>FK`//$AB$`=>MF`//$AB$

Mà $PE$//$MF$

`=>PE`//$OB; PQ$//$OA$

$\\$

Xét $∆DAO$ có $PQ$//$OA$

`=>{PQ}/{OA}={DP}/{DO}` (hệ quả định lý Talet)

Xét $∆DBO$ có $PE$//$OB$

`=>{PE}/{OB}={DP}/{DO}` (hệ quả định lý Talet)

$\\$

`=>{PQ}/{OA}={PE}/{OB}`

Mà `OA=OB=R`

`=>PQ=PE` $(5)$

$\\$

Từ `(3);(4);(5)=>1/2 MK=1/ 2 MF`

`=>MK=MF` (đpcm)