Đặt $A=\dfrac{3-4x}{x^2+1}$

$A-4=\dfrac{3-4x}{x^2+1}-4\\\quad\quad\,\,\,=\dfrac{3-4x-4(x^2+1)}{x^2+1}\\\quad\quad\,\,\,=\dfrac{-4x^2-4x-1}{x^2+1}\\\quad\quad\,\,\,=\dfrac{-(4x^2+4x+1)}{x^2+1}\\\quad\quad\,\,\,=\dfrac{-(2x+1)^2}{x^2+1}$

Ta có: $\begin{cases}(2x-1)^2\ge 0\\x^2\ge 0\end{cases}$

$↔\begin{cases}-(2x-1)^2\le 0\\x^2+1\ge 1\end{cases}\\↔\begin{cases}-(2x-1)^2\le 0\\x^2+1>0\end{cases}\\→\dfrac{-(2x-1)^2}{x^2+1}\le 0\\↔A-4\le 0\\↔A\le 4$

$→$ Dấu "=" xảy ra khi $2x-1=0$

$↔2x=1\\↔x=\dfrac{1}{2}$

Vậy $A$ đạt GTLN là $4$ khi $x=\dfrac{1}{2}$

Đáp án: Max = 4

Giải thích các bước giải:

Ta đi chứng minh :  $\frac{3-4x}{x²+1}$  ≤ 4 ∀ x ∈ R

⇔ 3 - 4x ≤ 4×(x² + 1)

⇔ 4x² + 4x + 1 ≥ 0

⇔ (2x + 1)² ≥ 0 ( luôn đúng với ∀ x ∈ R )

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = - $\frac{1}{2}$ 

Cách tìm ra số 4

Ta coi số cần tìm là m thì $\frac{3-4x}{x²+1}$  ≤ m

⇔ 3 - 4x ≤ m×(x² + 1)

⇔ mx² + 4x + m - 3 ≥ 0 (*) 

Ta có đẳng thức (a + b)² = a² + 2ab + b²

Vậy để (*) luôn đúng thì $\sqrt[]{m×(m-3)}$ = 4 : 2

⇔ m×(m - 3) = 4 ⇒ m = 4

Cách này có thể áp dụng để giải nhiều dạng và nâng cao hơn. Có lẽ đối với lớp 7 hơi khó nhưng hãy cố gắng tìm hiểu nhé, vì nó sẽ giúp ích nhiều cho lớp 8; 9!