Đáp án: Chứng minh

Giải thích các bước giải:

 + Xét p = 7 ⇒ Thỏa mãn đề bài và p² + 10 là số nguyên tố ( đpcm )

* Xét p $\ne$ 7 ⇒ p có dạng 7k + 1; 7k + 2; 7k + 3; 7k + 4; 7k + 5; 7k + 6

+ Xét p thuộc dạng 7k + 1; 7k + 2; 7k + 4

⇒ 2p³ + 5 $\vdots$ 7 ⇒ không phải là số nguyên tố ( vì 2p³ + 5 $\ne$ 7 )

Để biết 2p³ + 5 $\vdots$ 7 thì chỉ cần thay lần lượt 7k + 1; 7k + 2; 7k + 4 vào và khai triển là được.

Ví dụ  thay 7k + 1 ta được 

2×( 7k + 1 )³ + 5 = 2×( (7k)³ + 21k×(7k + 1) + 1 ) + 5 

= 2×( (7k)³ + 21k×(7k + 1) ) + 7 $\vdots$ 7

Tương tự với 7k + 2; 7k + 4

+ Xét p thuộc dạng 7k + 3; 7k + 5; 7k + 6

⇒ p³ - 6 $\vdots$ 7 ⇒ không phải là số nguyên tố ( vì p³ - 6 $\ne$ 7 )

Tương tự như trên ta chỉ cần thay 7k + 3; 7k + 5; 7k + 6 vào rồi khai triển để chứng minh p³ - 6 $\vdots$ 7

Do đó số p thỏa mãn đề bài chỉ có thể là 7. ⇒ Điều phải chứng minh

( Tư duy về bài toán này 1 phần lớn là do luyện nhiều bài, khi nhìn vào bài toán thì mình nghĩ đến việc chỉ có duy nhất 1 p thỏa mãn đề bài. Từ đó thì tìm ra được p đó rồi đi chứng minh. Hãy cố đọc và hiểu nhé. Đi thi học sinh giỏi tỉnh rất hay có )