Đáp án+Giải thích các bước giải:

`1) ΔABC` cân tại `A` có: `AH` là đường cao ứng với cạnh `BC`

                       `=> AH` là đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh `BC`

   `ΔABC` có: `D` là trung điểm của `AC`

                     `H` là trung điểm của `BC`

         `=> DH` là đường trung bình của `ΔABC`

          `=> DH //// AB`

     Tứ giác `ADHB` có: `DH //// AB`

             `=> ADHB` là hình thang 

`2)` Ta có: `BH = 1/2 BC = 1/2 . 6 = 3(cm)`

  `ΔAHB` vuông tại `H`

      `=> AB^2 = AH^2 + BH^2(` Định lí `Pyytago)`

      hay `AB^2 = 4^2 + 3^2`

         `=> AB =\sqrt{4^2+3^2} = 5(cm)`

      mà `DH = 1/2 AB(DH` là đường trung bình của `ΔAB)`

        `=> DH = 1/2 . 5 = 2,5(cm0`

`3) ΔABC` có: `H` là trung điểm của `BC`

                       `HE //// AC`

              `=> E` là trung điểm của `AB`

      Ta có: `AE = 1/2 AB`

                `AD = 1/2 AC`

        mà `AB =AC(ΔABC` cân tại `A)`

          `=> AE =AD `

           `=> ΔAED` cân tại `A`

            `=> \hat{AED} = (180^o-\hat{A})/2`

         mà `\hat{ABC} = (180^o-\hat{A})/2(ΔABC` cân tại `A)`

            `=> \hat{AED} =\hat{ABC}`

           mà `2` góc này nằm ở vị trí đồng vị

              `=> ED //// BC`

               `=> BEDC` là hình thang 

              mà `\hat{ABC} = \hat{ACB}(ΔABC` cân tại `A)`

                `=> BEDC` là hình thang cân

`4) ΔBIH` và `ΔBDC` có: `IH //// CD(HE //// AC, I in HE, D in AC)`

             `=> (BI)/(BD) = (HI)/(CD)(` Hệ quả `Thal``es)(1)`

  `ΔBIE` và `ΔBDA` có: `IE //// AD(HE //// AC, I in HE, D in AC)`

             `=> (BI)/(BD) = (EI)/(AD)(` Hệ quả `Thal``es)(2)`

 Từ `(1), (2) => (HI)/(CD) = (EI)/(AD)`

           mà `CD = AD`

             `=> HI =EI`

             `=> I` là trung điểm của `HE`

  `ΔDBC` có: `I` là trung điểm của `HE`

                    `N` là trung điểm của `CD`

         `=> IN` là đường trung bình của `ΔDBC`

          `=> IN //// BC`

           mà `M in IN`

                  `H in BC`

             `=> MI //// BH`

   `ΔEBH` có: `MI //// BH`

                     `I` là trung điểm của `HE`

           `=> M` là trung điểm của `BE`

  `ΔEBH` có:`I` là trung điểm của `HE`

                   `M` là trung điểm của `BE`

           `=> IM` là đường trung bình của `ΔEBH`

            `=> MI = 1/2 BH`

           mà `BH = 1/2 BC`

             `=> MI = 1/2 . 1/2BC = 1/4BC`

             `=> BC = 4MI`

`text{_____________________________________________}`

`4)` Tứ giác `EDHB` có: `ED //// BH(ED //// BC, H in BC)`

                                     `HD //// EB(HD //// AB, E in AB)`

                     `=> EDHB` là hình bình hành

                     `=> 2` đường chéo `BD` và `EH` cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

                         mà `I` là giao điểm của `HE` và `BD`

                           `=> I` là trung điểm của `BD`

  `ΔDBC` có: `I` là trung điểm của `HE`

                    `N` là trung điểm của `CD`

         `=> IN` là đường trung bình của `ΔDBC`

          `=> IN //// BC`

           mà `M in IN`

                  `H in BC`

             `=> MI //// BH`

   `ΔEBH` có: `MI //// BH`

                     `I` là trung điểm của `HE`

           `=> M` là trung điểm của `BE`

  `ΔEBH` có:`I` là trung điểm của `HE`

                   `M` là trung điểm của `BE`

           `=> IM` là đường trung bình của `ΔEBH`

            `=> MI = 1/2 BH`

           mà `BH = 1/2 BC`

             `=> MI = 1/2 . 1/2BC = 1/4BC`

             `=> BC = 4MI`