Giải thích các bước giải:

a.Ta có $I$ là trung điểm $AC\to OI\perp AC$

$\to\widehat{CIO}=\widehat{CHO}=90^o$

$\to CIHO$ nội tiếp đường tròn đường kính $CO$

$\to C, H, O, I$ cùng thuộc một đường tròn

b.Ta có $OI\perp AC\to OI$ làm trung trực của $AC$

$\to\widehat{MCO}=\widehat{MAO}=90^o$

$\to MC$ là tiếp tuyến của $(O)$

c.Gọi $BC\cap AM=D$

Ta có $AB$ là đường kính của $(O)\to AC\perp BC$

$\to CB//OM$

$\to OM//BD$

Mà $O$ là trung điểm $AB\to M$ là trung điểm $AD$

$\to MA=MD$

Ta có $CH//AD(\perp AB)$

$\to \dfrac{KH}{AM}=\dfrac{CK}{CM}=\dfrac{CK}{DM}$

Mà $MD=MA\to KC=KH\to K$ là trung điểm $CH$

d.Ta có:

$P_{ABC}=AC+BC+AB$

$\to P_{ABC}=(AC+BC)+2R$

$\to P_{ABC}=\sqrt{(AC+BC)^2}+2R$

$\to P_{ABC}\le \sqrt{2(AC^2+BC^2)}+2R$

$\to P_{ABC}\le \sqrt{2AB^2}+2R$

$\to P_{ABC}\le \sqrt{8R^2}+2R$

$\to P_{ABC}\le 2\sqrt{2}R+2R$

Dấu =  xảy ra khi $CA=CB\to C$ nằm chính giữa cung $AB$