$\\$

`a,`

Do `ΔABC` cân tại `A` (gt)

`AD` là đường cao (gt)

`-> AD` là đường trung tuyến

`-> D` là trung điểm của `BC`

Xét `ΔBDG` và `ΔCDG` có :

`hat{BDG}=hat{CDG}=90^o` (gt)

`BD = CD` (Do `D` là trung điểm của `BC`)

`DG` chung

`-> ΔBDG = ΔCDG` (cạnh - góc - cạnh)

`-> BG = GC` (2 cạnh tương ứng) (*)

Xét `ΔBDE` và `ΔCDE` có :

`hat{BDE}=hat{CDE}=90^o` (gt)

`DE` chung

`BD=CD` (Do `D` là trung điểm của `BC`)

`-> ΔBDE = ΔCDE` (cạnh - góc - cạnh)

`-> CE=BE` (2 cạnh tương ứng) (**)

Xét `ΔBDG` và `ΔBDE` có :

`hat{BDG}=hat{BDE}=90^o` (gt)

`BD` chung

`DG=DE` (gt)

`-> ΔBDG = ΔBDE` (cạnh - góc - cạnh)

`-> BG=BE` (2 cạnh tương ứng) (***)

Từ (*), (**), (***)

`-> BG=GC = CE=BE`

$\\$

`b,`

Xét `ΔABE` và `ΔACE` có :

`AB=AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`BE=CE` (cmt)

`AE` chung

`-> ΔABE = ΔACE` (cạnh - cạnh - cạnh)

$\\$

`c,`

Do `G` là trọng tâm của `ΔABC` (gt)

`->` $\begin{cases} AG = \dfrac{2}{3}AD\\DG =\dfrac{1}{3}AD\end{cases}$

Có : `DG=DE` (gt)

mà `DG = 1/3 AD` (cmt)

`-> DE = 1/3 AD`

Có : `GE = DG + DE`

`-> GE = 1/3 AD + 1/3AD`

`-> GE = 2/3 AD`

mà `AG =2/3 AD` (cmt)

`-> GE = AG (=2/3 AD)`

`-> G` là trung điểm của `AE`

`-> CG` là đường trung tuyến của `ACE`

Xét `ACE` có :

`CG` là đường trung tuyến ứng với cạnh `AE` (cmt)

`CG = 1/2 AE` (gt)

`-> ΔACE` vuông tại `C`

Có : `CG = 1/2 AE` (gt)

mà `CG =CE` (cmt)

`-> CE = 1/2 AE`

Xét `ΔACE` vuông tại `C` có :

`CE = 1/2 AE` (cmt)

`-> hat{CAE}=30^o`

hay `hat{CAD}=30^o`

Do `ΔABC` cân tại `A` (gt)

`AD` là đường cao (gt)

`-> AD` là đường phân giác

`-> hat{CAD}=hat{BAD}`

mà `hat{CAD}=30^o` (cmt)

`-> hat{BAD}=30^o`

Có : `hat{CAD}+hat{BAD}=hat{BAC}`

`-> hat{BAC}=30^o + 30^o = 60^o`

mà `ΔABC` cân tại `A` (gt)

`-> ΔABC` đều

Vậy `ΔABC` đều khi `CG = (AE)/2` hay `CG = 1/2 AE`