Đáp án:

$2018$ 

Giải thích các bước giải:

Cho `x^2-y^2=M`

`M` là hằng số sao cho phương trình có nghiệm nguyên 

Số nào không thể là giá trị của $M$?

_______

`x;y\in ZZ`

`\qquad x^2-y^2=M`

`<=>(x-y)(x+y)=M`

Ta có: `(x-y)+(x+y)=2x` là số chẵn

`=>(x-y);(x+y)` cùng chẵn hoặc cùng lẻ

$\\$

 +) Nếu `M=2018`

`=>(x-y)(x+y)=2018` $(1)$

Vì `2018` là số chẵn `=>(x-y);(x+y)` cùng chẵn

(Vì chỉ có hai trường hợp cùng chẵn hoặc cùng lẻ, và không thể cùng lẻ vì tích sẽ là số lẻ)

`=>x-y=2a; x+y=2b\ (a;b\in ZZ)`

`=>(x-y)(x+y)=2a.2b=4ab\ \vdots\ 4`

Mà $2018\not\vdots\ 4$

`=>(1)` không có nghiệm nguyên

$\\$

+) Nếu `M=2020`

`=>(x-y)(x+y)=2020=2.5.2.101`

Vì `2020` là số chẵn `=>(x-y);(x+y)` là ước chẵn của `2020`

Ta xét trường hợp:

$\quad \begin{cases}x-y=10\\x+y=202\end{cases}$`=>`$\begin{cases}x=y+10\\y+10+y=202\end{cases}$

`=>`$\begin{cases}x=106\\y=96\end{cases}$ (thỏa mãn)

Các trường hợp khác tương tự 

(Chỉ ra được 1 trường hợp là phương trình đã có nghiệm rồi)

$\\$

+) Nếu $M=2019$

`=>(x-y)(x+y)=2019=3.673`

`=>(x-y);(x+y)\in Ư (2019)`

Ta xét trường hợp:

$\quad \begin{cases}x-y=3\\x+y=673\end{cases}$`=>`$\begin{cases}x=338\\y=335\end{cases}$ (thỏa mãn)

Các trường hợp khác tương tự 

$\\$

+) Nếu `M=2017`

`=>(x-y)(x+y)=2017` (là số nguyên tố)

`=>(x-y);(x+y)\in Ư(2017)`

Ta xét trường hợp:

$\quad \begin{cases}x-y=1\\x+y=2017\end{cases}$`=>`$\begin{cases}x=1009\\y=1008\end{cases}$ (thỏa mãn)

Các trường hợp khác tương tự (số âm, hay ước số khác, hay đổi vị trí các số)

$\\$

Vậy `M=2018` phương trình không có nghiệm nguyên