`a)`

Gọi `AC∩BD={O}`

Vì `ABCD` là hình chữ nhật

`⇒BO=DO(` tính chất hình chữ nhật `)`

Xét `ΔBDF` có:

`BO=DO(g``t)`

`BE=FE(g``t)`

`⇒EO` là đường trung bình của `ΔBDF`

`⇒EO``////DF(` tính chất đường trung bình của `Δ)`

Mà `A,C∈EO`

`⇒DF////AC(đpcm)`

Gọi `MN∩DF={G}`

Xét tứ giác `MDNF` có:

`hat{FND}=hat{NDM}=hat{MDF}=90^o`

`⇒` tứ giác `MDNF` là hình chữ nhật `(` tứ giác có `3` góc vuông là hình chữ nhật `)`

`⇒GN=GD(` tính chất hình chữ nhật `)`

`⇒ΔGND` cân tại `G`

`⇒hat{N_1}=hat{D_1}(` tính chất `Δ` cân `)(1)`

Vì `ABCD` là hình chữ nhật

`⇒OC=OD(` tính chất hình chữ nhật `)`

`⇒ΔOCD` cân tại `O`

`⇒hat{D_2}=hat{C_1}(` tính chất `Δ` cân `)(2)`

Vì `DF////AC(cmt)`

`⇒hat{D_1}=hat{C_1}(2` góc đồng vị `)(3)`

Từ `(1),(2)` và `(3)⇒hat{N_1}=hat{D_2}`

Mà `2` góc này nằm ở vị trí đồng vị

`⇒MN////BD(đpcm)`

`b)`

Xét hình chữ nhật `MDNF` có:

      `MN∩DF={G}`

`⇒M,G,N` thẳng hàng `(***)`

Vì `MDNF` là hình chữ nhật

`⇒FG=DG(` tính chất hình chữ nhật `)`

Xét `ΔBDF` có:`

`FG=DG(cmt)`

`FE=BE(g``t)`

`⇒EG` là đường trung bình của `ΔBDF`

`⇒EG////BD(` tính chất đường trung bình của `Δ)(4)`

Ta có:`MN////BD(cmt)`

Mà `G∈MN`

`⇒MG////BD(5)`

Từ `(4)` và `(5)⇒E,M,G` thẳng hàng `(**)`

Từ `(***)` và `(**)⇒E,M,N` thẳng hàng `(đpcm)`

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

1. a) Gọi AC∩BD={O}

       ⇒OA=OB=OC=OD

   Xét ΔBDF có:

         OB=OD(cmt)

         BE=EF(gt)

   ⇒OE là đường trung bình

   ⇒OE//DF  hay AC//D

   Suy ra chứng minh được DMFN là hình chữ nhật (ˆD=ˆM=ˆN=90)

   Gọi AF ∩ MN={I}

    ⇒ID=IM=IF=IN

         Ta được:   ΔIDM cân tại I

                 ⇒ˆDIM=180−2ˆIDM

         Ta lại có:   ΔOAD cân tại O  (OA=OD)

                ⇒ˆAOD=180−2ˆOAD

          mà ˆOAD=ˆIDM (đồng vị do AC//DF)  nên ˆDIM=ˆAOD

          Mặt khác: ˆAOD=ˆODF=ˆODI (so le trong)

          Do đó ˆDIM=ˆODI

                  ⇒OD//IM

                  ⇒MN//BD

1. b) Xét ΔBDF có:  BE=EF(gt)   ID=IF(cmt)

    ⇒IE là đường trung bình

    ⇒IE//BD

  Ta lại có: I ∈ MN

      MN//BD(cmt)

⇒E,M,N thẳng hàng