`a)` Vì $AC; MC$ lần lượt là tiếp tuyến tại $A;M$ của $(O)$

`=>\hat{CAO}=90°;\hat{CMO}=90°`

`=>\hat{CAO}+\hat{CMO}=90°+90°=180°`

Mà hai góc `\hat{CAO};\hat{CMO}` ở vị trí đối nhau

`=>ACMO` nội tiếp 

$\\$

`b)` Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

$AC;MC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $C$

`=>AC=MC`

`\qquad OC` là phân giác của `\hat{AOM}`

`=>\hat{AOM}=2\hat{COM}`

$\\$

$BD;MD$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $D$

`=>BD=MD`

`\qquad OD` là phân giác của `\hat{BOM}`

`=>\hat{BOM}=2\hat{DOM}`

$\\$

Ta có: `\hat{AOM}+\hat{BOM}=180°` (hai góc kề bù)

`=>2\hat{COM}+2\hat{DOM}=180°`

`=>2(\hat{COM}+\hat{DOM})=180°`

`=>2\hat{COD}=180°`

`=>\hat{COD}=90°`

`=>∆COD` vuông tại $O$  (đpcm)

$\\$

`c)` Vì `M` thuộc nửa đường tròn `(O;R)`

`=>OM=R`

Ta có: ` AC=MC;BD=MD` (câu b)

Xét `∆COD` vuông tại $O$ có $OM\perp CD$

`=>OM^2=MC.MD=AC.BD` (hệ thức lượng)

`=>AC.BD=R^2` (đpcm)

$\\$

`d)` Vì $AC=MC; AO=MO=R$

`=>CO` là đường trung trực của $AM$

`=>CO`$\perp AM$  $(1)$

$\\$

Xét $∆AMB$ có $O$ là trung điểm $AB$

`MO=OA=OB=1/ 2 AB`

`=>∆AMB` vuông tại $M$ (đường trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện)

`=>MB`$\perp AM$ $(2)$

Từ `(1);(2)=>CO`//$MB$

`=>\hat{NBM}=\hat{AOC}` (hai góc đồng vị)

$\\$

Xét $∆NBM$ và $∆AOC$ có:

`\qquad \hat{NBM}=\hat{AOC}` 

`\qquad \hat{MNB}=\hat{CAO}=90°`

`=>∆NBM∽∆AOC` (g-g)

`=>{NM}/{AC}={NB}/{AO}={2NB}/{2AO}={2NB}/{AB}`

`=>NM.AB=2NB.AC` $(3)$

$\\$

Xét $∆ABC$ có $NI$//$AC$ (cùng $\perp AB$)

`=>{NI}/{AC}={NB}/{AB}` (hệ quả định lý Talet)

`=>NI.AB=NB.AC` $(4)$

Từ `(3);(4)=>NM.AB=2NI.AB`

`=>NM=2NI`

Vì `M;I;N` thẳng hàng 

`=>I` là trung điểm $MN$ (đpcm)

Bạn xem hình