Đáp án + giải thích các bước giải:

Đây là bất đẳng thức Holder:

`(a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})...(a_{m_1}+a_{m_2}+...+a_{m_n})>=(root{m}{a_{1_1}a_{2_1}...a_{m_1}}+root{m}{a_{1_2}a_{2_2}...a_{m_2}}+...+root{m}{a_{1_n}a_{2_n}...a_{m_n}})^m`

Chứng minh tổng quát:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 

`(a_{1_1})/(a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})+(a_{2_1})/(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})+...+(a_{m_1})/(a_{m_1}+a_{m_2}+...+a_{m_n})>=m \root{m} {(a_{1_1}a_{2_1}...a_{m_1})/((a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})...(a_{m_1}+a_{m_2}+...+a_{m_n}))}`

Tương tự, có:

`(a_{1_2})/(a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})+(a_{2_2})/(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})+...+(a_{m_2})/(a_{m_1}+a_{m_2}+...+a_{m_n})>=m \root{m} {(a_{1_2}a_{2_2}...a_{m_2})/((a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})...(a_{m_1}+a_{m_2}+...+a_{m_n}))}`

...

`(a_{1_n})/(a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})+(a_{2_n})/(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})+...+(a_{m_1})/(a_{m_n}+a_{m_2}+...+a_{m_n})>=m \root{m} {(a_{1_n}a_{2_n}...a_{m_n})/((a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})...(a_{m_1}+a_{m_2}+...+a_{m_n}))}`

Cộng tương ứng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta có:

`m>=m(\root{m}{a_{1_2}a_{2_2}...a_{m_2}}+...+root{m}{a_{1_n}a_{2_n}...a_{m_n}})/(\root{m}((a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})...(a_{m_1}+a_{m_2}+...+a_{m_n}))} `

`->(a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})...(a_{m_1}+a_{m_2}+...+a_{m_n})>=(root{m}{a_{1_1}a_{2_1}...a_{m_1}}+root{m}{a_{1_2}a_{2_2}...a_{m_2}}+...+root{m}{a_{1_n}a_{2_n}...a_{m_n}})^m` 

Chứng minh với trường hợp ba bộ số:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

$\dfrac{a^3}{a^3+b^3+c^3}+\dfrac{x^3}{x^3+y^3+z^3}+\dfrac{m^3}{m^3+n^3+p^3}\\ \ge \dfrac{3axm}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}$

$\dfrac{b^3}{a^3+b^3+c^3}+\dfrac{y^3}{x^3+y^3+z^3}+\dfrac{n^3}{m^3+n^3+p^3}\\ \ge \dfrac{3byn}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}$

$\dfrac{c^3}{a^3+b^3+c^3}+\dfrac{z^3}{x^3+y^3+z^3}+\dfrac{p^3}{m^3+n^3+p^3}\\ \ge \dfrac{3czp}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}$

Cộng ba bất đẳng thức vế theo vế, có:

`(a^3+b^3+c^3)/(a^3+b^3+c^3)+(x^3+y^3+z^3)/(x^3+y^3+z^3)+(m^3+n^3+p^3)/(m^3+n^3+p^3)>=(3(axm+byn+czp))/\root{3}{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}`

`->1>=(axm+byn+czp)/\root{3}{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}`

`->1>=(axm+byn+czp)^3/((a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3))`

`->(axm+byn+czp)^3<=(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)`

Dấu bằng xảy ra khi `a:m:x=b:n:y=c:n:z`