\(\begin{array}{l}
1)\quad \begin{cases}x+y+z=3\\
2x-y\quad\ =1\\
-x\ \ +3z=2\\
2x\ \ \ +4z=6 
\end{cases}\\
\text{Gọi $A, \overline{A}$ lần lượt là ma trận hệ số và ma trận hệ số mở rộng của hệ phương trình}\\
\text{Ta có:}\\
\qquad \overline{A} = \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&3\\ 2&-1&0&1\\-1&0&3&2\\2&0&4&6 \end{array} \right)\\
\xrightarrow{\begin{array}{l}r_2 - 2r_1 \to r_2\\r_3 + r_1 \to r_3\\r_4-2r_1 \to r_4\end{array}}\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&3\\ 0&-3&-2&-4\\0&1&4&5\\0&-2&2&0\end{array} \right)\\
\xrightarrow{\begin{array}{l}r_3 + \tfrac13r_2 \to r_3\\r_4-\tfrac23r_2 \to r_4\end{array}}\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&3\\ 0&-3&-2&-4\\0&0&\dfrac{10}{3}&\dfrac{11}{3}\\0&0&\dfrac{10}{3}&\dfrac83\end{array} \right)\\
\xrightarrow{\ r_4 - r_3 \to r_4\ }\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&3\\ 0&-3&-2&-4\\0&0&\dfrac{10}{3}&\dfrac{11}{3}\\0&0&0&-1\end{array} \right)\\
\Rightarrow r(A) \ne r(\overline{A})\\
\Rightarrow \text{Hệ phương trình vô nghiệm}\\
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
2)\quad A = \left(\begin{array}{ccc}0,3&0,1&0,2\\0,2&0,4&0,1\\0,3&0,2&0,3\end{array} \right)\\
\end{array}\)

a) Ý nghĩa hệ số $a_{12} = 0,1:$

Để có `1` đơn vị giá trị sản phẩm ngành thứ `2` thì ngành thứ `1` phải cung cấp trực tiếp cho ngành này một lượng sản phẩm là $0,1$ đơn vị

b) Cải tiến kỹ thuật ngành `2` nên cần ít hơn $25\%$ liệu từ ngành `1`

$\Rightarrow a_{12} = 0,1. 0,75 = 0,075$

c) Ta được ma trận hệ số kỹ thuật mới:

\(\begin{array}{l}
A = \left(\begin{array}{ccc}0,3&0,075&0,2\\0,2&0,4&0,1\\0,3&0,2&0,3\end{array} \right)\\
\end{array}\)

Gọi $B$ là ma trận nhu cầu cuối cùng của ngành kinh tế mở

\(\begin{array}{l}
B= \left(\begin{array}{c}60\\124\\100\end{array} \right)\\
\end{array}\)

Ta được:

\(\begin{array}{l}\quad (I-A)X = B\\
\Leftrightarrow X = (I-A)^{-1}B\\
\Leftrightarrow X =\left(\begin{array}{ccc}0,7&-0,075&-0,2\\-0,2&0,6&-0,1\\-0,3&-0,2&0,7\end{array} \right)^{-1}\cdot \left(\begin{array}{c}60\\124\\100\end{array} \right)\\
\Leftrightarrow X =\left(\begin{array}{c}\dfrac{192880}{893}\\\dfrac{298080}{893}\\\dfrac{295400}{893}\end{array} \right)
\end{array}\)

Vậy sản lượng đầu ra của ba ngành lần lượt là $215,991;\ 333,796;\ 330,795$