Lời giải:

Gọi quãng đường Bình đi xe đạp bằng quãng đường An đi bộ là: $S_{1}\ $(km)

$\Rightarrow$ quãng đường Bình đi bộ bằng quãng đường An đi xe đạp là: $S-S_{1}\ $(km)

Thời gian đi của Bình là: 

$t_{1}=\dfrac{S_{1}}{v_{2}}+\dfrac{S-S_{1}}{v_{1}}=\dfrac{S_{1}}{10}+\dfrac{S-S_{1}}{4}\ (h)$ 

Thời gian đi của An là:

$t_{2}=\dfrac{S_{1}}{v_{3}}+\dfrac{S-S_{1}}{v_{4}}=\dfrac{S_{1}}{5}+\dfrac{S-S_{1}}{12}\ (h)$ 

Vì Bình và An xuất phát và đến nơi cùng lúc nên: $t_{1}=t_{2}$

$\Rightarrow \dfrac{S_{1}}{10}+\dfrac{S-S_{1}}{4}=\dfrac{S_{1}}{5}+\dfrac{S-S_{1}}{12}$ 
$\Rightarrow \dfrac{6S_{1}}{60}+\dfrac{15(S-S_{1})}{60}=\dfrac{12S_{1}}{60}+\dfrac{5(S-S_{1})}{60}$
$\Rightarrow 6S_{1}+15S-15S_{1}=12S_{1}+5S-5S_{1}$
$\Rightarrow 10S=16S_{1} $
$\Rightarrow 160=16S_{1}$
$\Rightarrow S_{1}=10\ $(km)

Vậy Bình đi xe đạp đến vị trí cách nhà $10km$ rồi đi bộ đến nhà bà

    An đi bộ đến vị trí cách nhà $10km$ rồi đi bộ đến nhà bà