Giải thích các bước giải:

a.

`∆ABC` vuông cân tại `A`

\(\Rightarrow \widehat {ACB} = {45^0}\)

`∆EAC` vuông cân tại `E`

\( \Rightarrow \widehat {EAC} = {45^0}\) 

`=>` \(\widehat {EAC} = \widehat {ACB}\)

`⇒` `AE` // `BC` (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Nên tứ giác `AECB` là hình thang có \(\widehat E = {90^0}\).

Vậy `AECB` là hình thang vuông

 `b)` \(\widehat E = \widehat {ECB} = {90^0},\widehat B = {45^0}\)

\(\widehat B + \widehat {EAB} = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía bù nhau)

\( \Rightarrow \widehat {EAB} = {180^0} – \widehat B = {180^0} – {45^0} = {135^0}\)

`->` `∆ABC` vuông tại `A`.

Theo định lí Py-ta-go ta có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)  mà AB= AC (gt)

\(\eqalign{& \Rightarrow 2A{B^2} = B{C^2} = {2^2} = 4 \cr& A{B^2} = 2 \Rightarrow AB = \sqrt 2 (cm) \Rightarrow AC = \sqrt 2 (cm) \cr} \) 

`∆AEC` vuông tại `E.`

Theo định lí Py-ta-go ta có:

\(E{A^2} + E{C^2} = A{C^2}\), mà EA = EC (gt)

\(\eqalign{
& \Rightarrow 2E{A^2} = A{C^2} = 2 \cr
& E{A^2} = 1 \cr
& \Rightarrow EA = 1(cm) \Rightarrow EC = 1(cm) \cr} \)

Chứng minh

a) Ta có: \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(AB=AC\) và \(\widehat{ACB}=\widehat{ABC} =45^{\circ}\)

\(\Delta AEC\) vuông cân tại \(E\) nên: \(AE=EC\) và \(\widehat{ACE}=\widehat{EAC} =45^{\circ}\)

Suy ra \(\widehat{BCE}=\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}\)

\(\Rightarrow  BC\perp CE\)

Lại có: \(AE\perp EC\) (do \(\Delta AEC\) vuông cân tại \(E\))

\(\Rightarrow  AE//BC(\perp CE)\)

\(\Rightarrow  AECB\) là hình thang.

b) Hình thang \(AECB\) có: 

\(\widehat{AEC}=\widehat{ECB}=90^{\circ}\)

\(\widehat{ABC}=45^{\circ}\)

\(\widehat{BAE}=\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}\)

Có: \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên:

\(AB=AC=\sqrt{\frac{BC^2}{2}}=\sqrt{\frac{2^2}{2}}=\sqrt{2}(cm)\)

\(\Delta ACE\) vuông cân tại \(E\) nên:

\(AE=EC=\sqrt{\frac{AC^2}{2}}=\sqrt{\frac{2}{2}}=1(cm)\)

Vậy hình thang \(AECB\) có: \(AE=EC=1cm; AB=\sqrt{2}cm; BC=2cm; \widehat{AEC}=\widehat{BCE}=90^{\circ}; \widehat{ABC}=45^{\circ}; \widehat{BAE}=135^{\circ}\)