Đáp án + giải thích các bước giải:

 `C` là hằng số và nó nhận giá trị tùy ý. Định nghĩa nguyên hàm là với mọi `f(x)` xác định trên `K`, `F(x)` được gọi là nguyên hàm của `f(x)` nếu `F'(x)=f(x)`. Vì `[F(x)+C]'=F'(x)=f(x)` nên tổng quát hóa, nguyên hàm của `f(x)` là `F(x)+C `.

Nguyên hàm là ngược lại của đạo hàm, người ta dùng công thức đạo hàm để từ hàm số tính đạo hàm của hàm số, dùng công thức nguyên hàm để từ đạo hàm của hàm số tính hàm số. Ví dụ, đạo hàm của `4x^5+1=20x^4`, đạo hàm của `4x^5+2=20x^4` vậy nên nguyên hàm của `20x^4=4x^5+C` để khái quát mọi trường hợp. 

Một hàm số $f(x)$ chỉ tồn tại một đạo hàm nhưng tồn tại vô số nguyên hàm, do đạo hàm của hằng số bằng $0$.

Ví dụ:

$f(x)=2x$ có đạo hàm $f'(x)=2(x)'=2$

$f(x)=2x$ có thể có các nguyên hàm $F(x)=x^2+1; F(x)=x^2-10; F(x)=x^2-2021;...$

(do $(x^2+1)'=(x^2-10)'=(x^2+2020)'=...=2x+0=2x$)

Do đó người ta khái quát các số $1; -10; 2021$ như trên bằng số $C$. Số $C$ có thể nhận giá trị tuỳ ý.

$\displaystyle\int 2x dx=x^2+C$