`a)`

Xét `ΔABD` có:

`AH=DH(g``t)`

`AE=BE(g``t)`

`⇒HE` là đường trung bình của `ΔABD`

`⇒HE////BD` và `HE=1/2BD(` tính chất đường trung bình của `Δ)(1)`

Xét `ΔBCD` có:

`CF=DF(g``t)`

`CG=BG(g``t)`

`⇒FG` là đường trung bình của `ΔBCD`

`⇒FG////BD` và `FG=1/2BD(` tính chất đường trung bình của `Δ)(2)`

Từ `(1)` và `(2)⇒HE////FG` và `HE=FG`

Xét tứ giác `EHFG` có:

    `HE////FG(cmt)`

    `HE=FG(cmt)`

`⇒` tứ giác `EHFG` là hình bình hành `(` tứ giác có `2` cạnh đối song song à bằng nhau là hình bình hành `)(đpcm)`

`b)`

Ta có:`FG=1/2BD(cmt)`

`⇒FG=1/2 .12=6(cm)`

Mà `HE=FG(cmt)`

`⇒HE=FG=6cm`

Vì `EHFG` là hình bình hành

`⇒HF=EG(` tính chất hình bình hành `)`

Xét `ΔABC` có:

`AE=BE(g``t)`

`BG=CG(g``t)`

`⇒EG` là đường trung bình của `ΔABC`

`⇒EG=1/2AC(` tính chất đường trung bình của `Δ)`

`⇒EG=1/2 .10=5(cm)`

Mà `HF=EG(cmt)`

`⇒HF=EG=5cm`

Vậy `HE=FG=6cm` và `HF=EG=5cm`

`c)`

Gọi `O` là giao điểm của `AC` và `BD`

Vì `ABCD` là hình bình hành

`⇒O` là trung điểm của `2` đường chéo `AC` và `BD(` tính chất hình bình hành `)(3)`

    `AB////CD(` tính chất hình bình hành `)` 

    `AB=CD(` tính chất hình bình hành `)` 

Vì `EHFG` là hình bình hành

`⇒O` là trung điểm của `2` đường chéo `EF` và `HG(` tính chất hình bình hành `)(4)`

Vì `AB////CD(cmt)`

Mà `E∈AB,F∈CD`

`⇒AE////CF`

Ta có:`AB=AE+BE`

         `CD=DF+CF`

Mà `AB=CD(cmt)`

      `AE=BE(g``t)`

      `DF=CF(cmt)`

`⇒AE=BE=DF=CF`

Xét tứ giác `AECF` có:

     `AE////CF(cmt)`

     `AE=CF(cmt)`

`⇒` tứ giác `AECF` là hình bình hành `(` tứ giác có `2` cạnh đối song song à bằng nhau là hình bình hành `)`

`⇒O` là trung điểm của `2` đường chéo `EF` và `AC(` tính chất hình bình hành `)(5)`

Từ `(3),(4)` và `(5)⇒AC,DB,EF,HG` đồng quy tại điểm `O(đpcm)`

Đáp án:

 a, Tứ giác EHFG là hình bình hành

b, EH = FG = 6cm; EG = FH = 5 cm

c, AC; BD; EF; HG đồng quy

Giải thích các bước giải:

Kẻ đg chéo BD

Trg Δ ABD có: AE = BE

                       AH = DH

=> EH là đg trung bình

=> EH // BD; EH = $\frac{1}{2}$. BD                                        (1)

CMTT: Δ BCD có FG là đg trung bình

=> FG // BD; FG = $\frac{1}{2}$. BD                                        (2)

Từ (1); (2) suy ra: EH // FG; EH = FG

Trg tứ giác EHFG có: EH // FG; EH = FG = $\frac{1}{2}$. BD  

=> EHFG là Hình bình hành ( đpcm)

b) Theo ý a, ta có: EH = FG = $\frac{1}{2}$. BD

=> EH = FG = $\frac{1}{2}$. 12 = 6cm

Kẻ đg chéo AC

Trg Δ ABC có: AE = BE

                      BG = CG 

=> EG là đg trung bình

=> EG // AC; EG = $\frac{1}{2}$. AC = $\frac{1}{2}$. 10 = 5 cm

Vì EHFG là hình bình hành nên EG = HF = 5cm

Vậy EH = FG = 6cm; EG = HF = 5cm (đpcm)

c) Vì ABCD là hình bình hành nên BD cắt AC tại trung điểm O của môi đường               (1)

Nối AF; EC

Trg tứ giác AECF: 

Có: AE = BC = $\frac{1}{2}$. AB = DF = CF =$\frac{1}{2}$. DC

Mà AE // EC

=> AECF là hình bình hành

=> Đg chéo EF cắt AC tại trung điểm O' của mỗi đường                                                      (2)

CMTT: tứ giác BGDH là hình bình hành

=> Đg chéo BD cắt GH tại trung điểm O'' của mỗi đường                                                   (3)

Từ (1);(2); (3) suy ra: O ≡ O' ≡ O '' 

⇔ AC; BD; EF; HG đồng quy ( đpcm) 

ỦNG HỘ MIK NHA!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! CHÚC BN HỌC TỐT :))))))))))))))))))))))