a) Do CA và CM là hai tiếp tuyến cắt nhau nên CA=CM

Do DM và DB là hai tiếp tuyến cắt nhau nên DM=DB

Suy ra CD=CM+MD=CA+DB (đpcm)

Ta có ^O1=^O2 (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

và ^O3=^O4 (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

⇒^COD=^O2+^O3=^O1+^O2+^O3+^O42=90o (đpcm)

b) ΔCOD⊥O có đường cao OM

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

OM2=CM.MD⇒R2=CA.DB (đpcm)

c) Gọi I là trung điểm của CD thì OI là đường trung bình của hình thang ACDB

⇒IO//AC//BD

⇒IO⊥AB mà OI=IC=ID

Vậy I là tâm đường tròn đường kính CD

Hay AB là tiếp tuyến của đường tròn (CD)

d) Do Ax và By là hai tiếp tuyến của (O)

Nên Ax∥By (vì cùng ⊥AB)

Hay AC∥DB

Theo định lý Ta-let ta có:

NAND=NCNB=ACBD

Mà AC=CM và BD=DM⇒ACBD=CMDM

⇒NAND=CMDM

Hay NA+NDND=CM+DMDM

⇔ADND=CDDM

⇒NDAD=DMCD

⇒MN∥AC (định lý Ta-let) (đpcm).

                                                                                                                                                                  $\text{a) Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau ta có }$

$\text{+) DA=DC}$

$\text{+) CE=EB}$

$\text{Nên DE=DC+CE=AD+BE (DPCM)}$

$\text{b)Vì DA=DC nên D thuộc trung trực AC (1)}$

$\text{Mặt khác CO=AO nên O thuộc trung trực của AC (2)}$

$\text{Nên (1);(2) ⇒DO là trung trực của AC (dpcm)}$

$\text{Mặt khác DO là trung trực của AC}$

$\text{⇒DO vuông góc với AC (3)}$

$\text{Mặt khác Xét (O) có A,C,B cùng thuộc 1 đường tròn}$

$\text{⇒∠ACB =90 (cung chắn nửa đường tròn)}$

$\text{⇒AC vuông góc với CB (4)}$

$\text{Từ (3);(4)⇒OD//BC (dpcm) }$

$\text{c)Vì OD∩AC=I nên ∠DIA=90 (cmb)}$

$\text{Vì Do là trung trực của AC nên I là trung điểm AC}$

$\text{⇒2.AI=AC}$

$\text{⇔2.AI=4,8}$

$\text{⇔AI=IC=2,4}$

$\text{ÁP dụng định lý Pytago vào ΔAIO}$

$\text{AI²+IO²=AO²}$
$\text{⇔2.4²+IO²=4²}$

$\text{⇔IO²=4²-2,4²=10,24}$

$\text{⇒IO=3,2}$

$\text{Áp dụng hệ thức lượng vào ΔADO,có}$

$\text{AI²=ID.IO}$

$\text{⇔(2,4)²=ID.3,2}$

$\text{⇒ID=1,8}$

$\text{Áp dụng định lý Pytago vào tam giác DIC có}$

$\text{DC²=DI²+IC²=(1.8)²+(2.4)²=9}$

$\text{⇒DC=3 (cm)}$

$\text{d)VÌ  Ax//By nên  $\frac{KA}{KE}$ =$\frac{AD}{EB}$  (1)}$

$\text{Mặt khác EB=CE và AD=AC (2)}$

$\text{Từ (1);(2)⇒$\frac{KA}{KE}$ =$\frac{DC}{CE}$ }$

$\text{⇒CK//DA}$

$\text{VÌ AB=2R nên AB là bán kính của đường tròn}$

$\text{⇒DA vuông góc với AB}$

$\text{Nên CK vuông góc với AB}$

$\text{Mặt khác $\frac{HK}{DA}$ =$\frac{BK}{BD}$  (Ta lét)}$

$\text{Tương tự  $\frac{CK}{DA}$ =$\frac{EK}{EA}$}$

$\text{MÀ $\frac{BK}{BD}$==$\frac{EK}{EA}$ (ta lét)}$

$\text{Suy ra $\frac{HK}{DA}$=$\frac{CK}{DA}$ }$

$\text{Nên HK=CK Hay K là trung điểm CH }$