Giả sử tam giác cần chứng minh là `ΔABC vuông tại A.

Ta kẻ trung tuyến `AM`.

Trên tia đối của tia `MA` lấy điểm D sao cho `MD = MA`.

xét `ΔAMB` và `ΔDMC` có :

`MB = MC` (Do `AM` là đường trung tuyến)

`∠M1 = ∠M2` (2 góc đối đỉnh bằng nhau)

`MA = MD` (Theo cách vẽ)

`⇒ ΔAMB = ΔDMC`    `(c.g.c)`

`⇒ AB = DC` (2 cạnh tương ứng)

Và `∠BAM = ∠CDM` (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

`⇒ AB // CD`    (1)

Vì `ΔABC` vuông tại A (gt)

`⇒ AB ⊥ AC`     (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

`AC ⊥ CD`.

Xét `ΔABC` và `ΔCDA` có:

`AB = CD` (chứng minh trên)

`∠BAC = ∠ACD` (=90)

`AC` cạnh chung

`⇒ ΔABC = ΔCDA`       `(c.g.c)`

`⇒ BC = DA` (2 cạnh tương ứng)

Vì: `AM = MD = $\frac{AD}{2}$`  (theo cách vẽ)

`⇒`  `AM = $\frac{BC}{2}$`

Vậy trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA 

Xét ΔAMB và ΔDMC có :

                       MB = MC ( gt )

                     `\hat{M1}`=`\hat{M2}`( hai góc đối đỉnh )

                        MA = MD (cách vẽ )

⇒ ΔAMB = ΔDMC ( c.g.c )

⇒ AB = AC

  `\hat{A1}`=`\hat{D}`

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

⇒AB // CD 

mà AC ⊥ AB ( gt )

⇒ AC ⊥ CD ( ĐL Từ vuông góc đến song song )

Xét ΔABC và ΔCDA có :

            AB = CD ( CMT )

          `\hat{A}`=`\hat{C}` = `90^0`

             AC: cạnh chung

⇒ ΔABC = ΔCDA (cgc)

⇒ BC = AD

Ta có: AM = MD = $\dfrac{AD}{2}$ 

mà BC = AD (cmt)

⇒AM = MD = $\dfrac{BC}{2}$ 

⇒AM = $\dfrac{BC}{2}$ (ĐPCM)