a, Xét (O), đường kính AB có: F ∈ (O) (gt)

⇒ $\widehat{AFB}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ AF ⊥ EB

Xét (O) có: Ax là tiếp tuyến, A là tiếp điểm

⇒ Ax ⊥ AB ⇒ $\widehat{xAB}=90^o$ Hay $\widehat{EAB}=90^o$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔAEB vuông tại A ($\widehat{EAB}=90^o$), AF⊥EB (cmt) có: $AE^2=EF.EB$

b, Xét (O) có:

Ax, EM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại E

A, M là hai tiếp điểm

⇒ EA = EM, EO là phân giác $\widehat{AEM}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét ΔEAM có: EA = EM (cmt)

⇒ ΔEAM cân tại E

Mà EO là phân giác $\widehat{AEM}$ (cmt)

⇒ EO là trung trực của AM ⇒ EO ⊥ AM

Xét (O), đường kính AB có: M ∈ (O) (gt)

⇒ $\widehat{AMB}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ AM ⊥ MB

Mà EO ⊥ AM (cmt)

⇒ EO // MB

c, Xét (O) có:

$\widehat{EMF}=\frac{1}{2}sđ\overparen{MF}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến EM và dây FM)

$\widehat{MBF}=\frac{1}{2}sđ\overparen{MF}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{MF}$)

⇒ $\widehat{EMF}=\widehat{MBF}$ Hay $\widehat{EMF}=\widehat{EBM}$

Xét ΔEMF và ΔEBM có: 

$\widehat{EMF}=\widehat{EBM}$ (cmt)

$\widehat{BEM}$: góc chung

⇒ ΔEMF ~ ΔEBM (g.g)

⇒ $\widehat{EFM}=\widehat{EMB}$ (hai góc tương ứng)

a)

$F$ thuộc đường tròn ⇒ $\widehat{AFB}=90°$ ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

$⇒AF ⊥ EB ⇒ AF$ là đường cao của $ΔAEB$

Áp dụng hệ thức lượng , ta có :

$AE^2=EF.EB$

b)

$EA$ và $EM$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $E$

$⇒OE$ là tia phân giác $\widehat{AOM}$

$⇒\widehat{AOE}=\dfrac{1}{2}\widehat{AOM}$

$\widehat{ABM}$ là góc nội tiếp chắn cung $AM$

$⇒\widehat{ABM}=\dfrac{1}{2}.\widehat{AOM}$

$⇒\widehat{AOE}=\widehat{ABM}$

$⇒OE//MB$ ( Hai góc đồng vị )

c)

$EA$ và $EM$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $E$

$⇒EA=EM$

Mà $EA^2=EF.EB ⇒ EM^2=EF.EB$

$⇒\dfrac{EM}{EB}=\dfrac{EF}{EM}$

Xét hai tam giác : $ΔEMF$ và $ΔEBM$ có :

$\widehat{BEM}$ : Góc chung

$\dfrac{EM}{EB}=\dfrac{EF}{EM}$

$⇒ΔEMF ~ ΔEBM ( c.g.c )$

$⇒\widehat{EFM}=\widehat{EMB}$