`text{a)}`

Ta có :

`text{AB}`$\bot$`BM ` tại E

`text{⇒}` `\hat{AEM}`= $90^o$

`CF` $\bot$`BM tại E`

`text{⇒}` `\hat{CFM}`=$90^o$

Xét $\Delta$`AME` và $\Delta$`CMF` ta có :

`text{AM = CM (gt)}`

`\hat{AEM}`=`\hat{CFM}`=$90^o$ (chứng minh trên)

`\hat{AME}` = `\hat{CMF}` (2 góc đối đỉnh)

`⇒` $\Delta$`AME`= $\Delta$`CMF` ( cạnh huyền - góc nhọn )

`text{⇒ ME= MF}` ( 2 cạnh tương ứng )

Vậy `text{ME= MF}`

`text{b)}`

Ta có :

`text{BE + BF= BE + BE + EM + MF}`

mà `text{ME = MF}`

`⇒` `text{BE + BF= BE + BE + EM + MF}`

`=` `text{2BE + 2EM}`

`=` `text{2.(BE + EM)}`

`=` `text{2.BM}` ( vì BE + EM = BM )

`⇒` `text{BM=}` $\frac{BE+BF}{2}$ 

Xét $\Delta$`ABM vuông tại A`

`⇒` `text{BM > AB}` ( trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất)

mà `text{BM=}` $\frac{BE+BF}{2}$ 

`⇒` $\frac{BE+BF}{2}$ `text{> AB}`

Vậy $\frac{BE+BF}{2}$ `text{> AB}`

$\\$

`a,`

Xét `ΔAEM` và `ΔCFM` có :

`hat{AEM}=hat{CFM}=90^o` (gt)

`AM=CM` (Do `M` là trung điểm của `AC`)

`hat{AME}=hat{CMF}` (2 góc đối đỉnh)

`-> ΔAEM = ΔCFM` (cạnh huyền - góc nhọn)

`-> ME = MF` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

`b,`

Có : `BE + BF`

`= BE+ BM + MF`

`= BE + BM + ME`

`= (BE + ME) + BM`

`= BM +BM`

`=2BM`

`-> BE + BF = 2BM`

Xét `ΔABM` có :

`hat{BAM}=90^o` (gt)

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`BM` là cạnh lớn nhất

`-> AB < BM`

`-> 2AB < 2BM`

`-> 2AB < BE + BF`

`-> AB < (BE + BF)/2`