Đáp án+Giải thích các bước giải:

a,

Xét ΔABC vuông tại A có:

    AB²+AC²=BC² (định lý Py-ta-go)

⇒ 3² + 4² =BC²

⇔ 25 =BC²

⇔BC=5(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam vuông

ta có:  AC²=BC.CH

  ⇔  4² = 5.CH

  ⇔ CH=16:5

  ⇔ CH =3,2 (cm)

Ta lại có:BC-BH=CH

    ⇒     5-BH =3,2

    ⇔     BH=1,8 (cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông 

ta có:  AH²=BH.CH

  ⇒    AH²=1,8.3,2

  ⇔    AH= 2,4 (cm)

Vậy BH=1,8 (cm)

       AC= 4cm ( đề bài)

       AH=2,4 cm

       BC=5 cm

b,

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông 

ta có: AH²=BH.CH

  ⇒  AH² =9.16

  ⇔ AH²= 144

  ⇔AH =12 (cm)

Ta lại có: BC=BH+CH

      ⇒     BC=9+16

      ⇔     BC=25 (cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

ta có: AB²=BC.BH

  ⇒   AB² =25.9

  ⇔  AB² = 225

  ⇔  AB=15 (cm)

Xét Δ ABC vuông tại A có:

AB² + AC²=BC² (định lý Py-ta-go)

⇒15²+AC²=25²

⇔AC²=400

⇔ AC =20 (cm)

Vậy AH= 12 cm

       BC=25 cm

        AC=20 cm

        AB=15 cm

$a)$

Áp dụng định lí Pi-ta-go , ta có :

$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5(cm)$

Áp dụng hệ thức lượng , ta có :

$AH.AB=AB.AC ⇒ AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{3.4}{5}=2,4 ( cm )$

$AB^2=BH.BC ⇒ BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{3^2}{5}=1,8 ( cm )$

Vậy $BH=1,8 cm ; AC=4 cm ; BC= 5cm ; AH=2,4 cm$

$b)$

Ta có : $BC=BH+HC=9+16=25 ( cm )$

Áp dụng hệ thức lượng , ta có :

$AB^2=BH.BC=9.25=225$

$⇒AB=15 ( cm )$

$AC^2=HC.BC=16.25=400$

$⇒AC=20 ( cm )$

$AH.BC=AB.AC ⇒ AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{15.20}{25}=\dfrac{30}{25}=12 ( cm )$

Vậy $BC=25 cm ; AB=15cm ; AC=20 cm ; AH=12 cm$