a/ Để hàm số (1) là hàm số bậc nhất thì $a\ne 0$

$→\dfrac{m-1}{m+1}\ne 0\\↔\begin{cases}m-1\ne 0\\m+1\ne 0\end{cases}\\↔\begin{cases}m\ne 1\\m\ne -1\end{cases}$

Vậy $m\ne 1,m\ne -1$ thì hàm số là hàm số bậc nhất

b/ Để hàm số (1) là hàm số đồng biến thì $a>0$

$→\dfrac{m-1}{m+1}>0\\↔\left[\begin{array}{1}\begin{cases}m-1>0\\m+1>0\end{cases}\\\begin{cases}m-1<0\\m+1<0\end{cases}\end{array}\right.\\↔\left[\begin{array}{1}\begin{cases}m>1\\m>-1\end{cases}\\\begin{cases}m<1\\m<-1\end{cases}\end{array}\right.\\↔\left[\begin{array}{1}m>1\\m<-1\end{array}\right.$

Vậy $m>1$ hoặc $m<-1$ thì hàm số là hàm số đồng biến

c/ Do đồ thị hàm số $y=\dfrac{m-1}{m+1}x+m+2$ đi qua điểm $A(1;2)$

$→2=\dfrac{m-1}{m+1}.1+m+2(m\ne -1)\\↔0=\dfrac{m-1}{m+1}+m\\↔0=\dfrac{(m-1)+m(m+1)}{m+1}=0\\→0=m-1+m^2+m\\↔0=m^2+2m-1\\↔0=m^2+2m+1-2\\↔(m+1)^2=2\\↔\left[\begin{array}{1}m+1=\sqrt 2\\m+1=-\sqrt 2\end{array}\right.\\↔\left[\begin{array}{1}m=\sqrt 2-1(TM)\\m=-\sqrt 2-1(TM)\end{array}\right.$

Vậy $m∈\{\sqrt 2-1;-\sqrt 2-1\}$ thì hàm số đi qua điểm $A(1;2)$

$a)$ $(1)$ là hàm số bậc nhất khi $a\ne0$

$⇔$$\left \{ {{m-1\ne0} \atop {m+1\ne0}} \right.$ 

$⇔$$\left \{ {{m\ne1} \atop {m\ne-1}} \right.$ 

$b)(1)$ là hàm số đồng biến khi $a>0$

$⇔$\(\left[ \begin{array}{l}m-1>0\\m+1>0\end{array} \right.\) hay \(\left[ \begin{array}{l}m-1<0\\m+1<0\end{array} \right.\) 

$⇔$\(\left[ \begin{array}{l}m>1\\m>-1\end{array} \right.\) hay \(\left[ \begin{array}{l}m<1\\m<-1\end{array} \right.\) 

$⇔$\(\left[ \begin{array}{l}m>1\\m<-1\end{array} \right.\) 

$c)$ Thay $A(1;2)$ vào $(1)$

$\dfrac{m-1}{m+1}+m+2=2(m\ne-1)$

$⇔\dfrac{m-1+m(m+1)}{m+1}=0$

$⇔m-1+m^2+m=0$

$⇔m^2+2m-1=0$

$⇔(m+1)^2=2$

$⇔$\(\left[ \begin{array}{l}m+1=\sqrt[]{2}\\m+1=-\sqrt[]{2}\end{array} \right.\) 

$⇔$\(\left[ \begin{array}{l}m=\sqrt[]{2}-1\\m=-1-\sqrt[]{2}\end{array} \right.\)