$\\$

`a,`

Xét `ΔAFB` và `ΔAFE` có :

`hat{AFB}=hat{AFE}=90^o` (gt)

`AF` chung

`AB=AE` (gt)

`-> ΔAFB = ΔAFE` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

`-> BF =EF` (2 cạnh tương ứng)

Xét `ΔBFM` và `ΔEFM` có :

`hat{BFM}=hat{EFM}=90^o` (gt)

`BF=EF` (cmt)

`FM` chung

`-> ΔBFM = ΔEFM` (cạnh - góc - cạnh)

`-> BM=EM` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

`b,`

Xét `ΔABM` và `ΔAEM` có :

`AB=AE` (gt)

`AM` chung

`BM=EM` (cmt)

`-> ΔABM = ΔAEM` (cạnh - cạnh - cạnh)

`-> hat{ABM}=hat{AEM}` (2 góc tương ứng)

Có : `hat{ABM}+hat{IBM}=180^o` (2 góc kề bù)

Có : `hat{AEM}+hat{CEM}=180^o` (2 góc kề bù)

mà `hat{ABM}=hat{AEM}` (cmt)

`->hat{IBM}=hat{CEM}`

Xét `ΔMBI` và `ΔMEC` có :

`hat{IBM}=hat{CEM}` (cmt)

`BM=EM` (cmt)

`hat{BMI}=hat{EMC}` (2 góc đối đỉnh)

`-> ΔMBI = ΔMEC` (góc - cạnh - góc)

$\\$

`c,`

Có : `hat{ABM}=hat{AEM}` (cmt)

hay `hat{ABC}=hat{AEM}`

Có : `hat{AEM}+hat{MEC}=180^o` (2 góc kề bù)

mà `hat{ABC}=hat{AEM}` (cmt)

`-> hat{ABC}+hat{MEC}=180^o`

`-> hat{MEC}=180^o - hat{ABC}`

Áp dụng định lí tổng 3 góc `Δ` cho `ΔABC` có :

`hat{ABC}+hat{A}+hat{ACB}=180^o`

`-> hat{ACB} + hat{A}=180^o - hat{ABC}`

`-> hat{MCE}+hat{A}=180^o-hat{ABC}`

mà `hat{MEC}=180^o - hat{ABC}`

`-> hat{MCE}+hat{A}=hat{MEC}`

`-> hat{MEC} > hat{MCE}`

Xét `ΔEMC` có :

`hat{MEC}>hat{MCE}`

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`MC > ME`

mà `ME=MB` (cmt)

`-> MC > MB`

$\\$

`d,`

Giả sử `ΔABC` có : `AB = 1/2 AC`

Có : `AB=1/2 AC` (giả sử)

mà `AB=AE` (gt)

`-> AE = 1/2 AC`

`-> E` là trung điểm của `AC`

`->IE` là đường trung tuyến của `ΔAIC`

Do `ΔMBI =ΔMEC` (cmt)

`-> BI=EC` (2 cạnh tương ứng)

Có : `AB+ BI = AI`

Có : `AE + EC = AC`

`AB=AE` (gt) và `BI=EC` (cmt)

`-> AI=AC`

mà `AB = 1/2 AC` (giả sử)

`-> AB = 1/2 AI`

`-> B` là trung điểm của `AI`

`-> CB` là đường trung tuyến của `ΔAIC`

Xét `ΔAIC` có :

`IE` là đường trung tuyến (cmt)

`CB` là đường trung tuyến

`IE` cắt `CB` tại `M`

`-> M` là trọng tâm của `ΔAIC`

Vậy để `M` là trọng tâm của `ΔAIC` thì `ΔABC` cần `AB = 1/2 AC`

cho mình xin ctlhn nha

                            giải

a)

ta có :

tam giác ABE cân tại A có đường cao AH

=> AH cũng là đường phân giác 

=>góc A1 =góc A2

xét tam giác ABM và tam giác AEM có:

             AB=AE   (gt)

   góc A1= góc A2  (cmt)

            AM chung

=>tam giác ABM = tam giác AEM  (c-g-c)

=>BM=ME

b)

ta có :

vì góc IBM và góc CEM là góc ngoài của 2 tam giác = nhau   (tam giác ABM = tam giác AEM )

=>góc IBM = góc CEM

 xét tam giác MBI và tam giác MEC có:

        góc IBM = góc CEM  (cmt)

      BM=ME

   góc BMI = góc CME  (đối đỉnh)

=> tam giác MBI = tam giác MEC   (g-c-g)

c)

ta có:

=>góc MBI = góc BAC + góc ACB   (góc ngoài tam giác ABC)

=> góc MBI > góc ACB (1)

vì tam giác MBI = tam giác MEC

=> MI = MC  (2)

      góc MIB = góc MCE  (3)   ( hay MIB = ACB vì cùng là góc C)

từ (1), (2), (3)

=> tam giác MBI có :

BM >MI=MC

=>MB>MC

d)

để M là trọng tam

⇔ AE =EC

     AB = BI

⇔ AB =EC

⇔AB =1/2AC

⇔ tam giác ABC có AB=1/2 AC thì M là trọng tâm