$a) \text{P là trung điểm của BC (gt)}$

$\text{N là trung điểm của AC (gt)}$

$\Rightarrow \text{NP là đường trung bình}$

$\Rightarrow NP//AB \text{ hay }NP//MB\text{ và } NP=\frac{1}{2}AB\hspace{0,2cm}(1)$

$\text{mà M là trung điểm của AB (gt)}$

$\Rightarrow AM= MB=\frac{1}{2}AB\hspace{0,2cm}(2)$

$\text{Từ (1), (2)} \Rightarrow NP//MB, NP=MB$

$\Rightarrow \text{Tứ giác BMNP là hình bình hành}$

$b) \text{Vì } AM=NP (=\frac{1}{2}AB)$

$\text{và }NP//MB\text{ hay }NP//AM$

$\Rightarrow \text{AMPN là hình bình hành}$

$\text{mà }\widehat{BAC}=90^{o}$

$\Rightarrow \text{AMPN là hình chữ nhật}$

$\Rightarrow AM=PN\text{ và }AN=MP$

$c) \text{Vì Q đối xứng với P qua N}$

$\Rightarrow PQ\bot{AC}\text{ và } PN=NQ$

$\text{Tương tự: }\Rightarrow PR\bot{AB}\text{ và } RM=MP$

$\text{Xét Δ RAM và ΔAQN:}$

$AM=QN (=NP)$

$\widehat{AMR}=\widehat{QNA}(=90^{o})$

$RM=AN (=MP)$

$\Rightarrow \Delta RAM = \Delta AQN\hspace{0,2cm} (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{MAR}=\widehat{NQA}$

$\text{Ta có: }\widehat{NQA}+\widehat{QAN}=90^{o}$

$\Rightarrow \widehat{MAR}+\widehat{QAN}=90^{o}$

$\text{Lại có: }\widehat{BAC}=90^{o}$

$\Rightarrow \widehat{MAR}+\widehat{QAN} + \widehat{BAC}=180^{o}$

$\Rightarrow \text{R, A, Q thẳng hàng}$

`a)`

Xét tam giác `BAC` có:

`MB = MA (gt)`

`NB = NC  (gt)`

`=> MN` là đường trung bình của tam giác `BAC`

`=> MN // AC => MN // AP`

Và `MN = 1/2 AC => MN = AP`

Xét tứ giác `AMNP` có:

`MN // AP (cmt)`

`MN = AP (cmt)`

`=>` Tứ giác `AMNP` là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

`b)`

Vì `AMNP` là hình bình hành.

`=>` Hai đường chéo phải cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Mà `I` là trung điểm của `AN`

`=> IM = IP`

`=> I` là trung điểm của của `MP`

`=> M, I, P` thẳng hàng.