I. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương:

Ví dụ 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2

I= (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 – 6x)

= (2x2 + 6x + 9 )(2x2 – 6x + 9)

Ví dụ 2: x8 + 98x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1 ) + 96x4

= (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 – 16x2(x4 + 1) + 32x4

= (x4 + 1 + 8x2)2 – 16x2(x4 + 1 – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 – 16x2(x2 – 1)2

= (x4 + 8x2 + 1)2 – (4x3 – 4x )2

= (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 – 4x3 + 8x2 + 4x + 1)

II. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung

Ví dụ 1: x7 + x2 + 1 = (x7 – x) + (x2 + x + 1 ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 )

= x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1 ) = x(x – 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1)

Ví dụ 2: x7 + x5 + 1 = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1)

= x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1)

Ghi nhớ:

Các đa thức có dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như: x7 + x2 + 1 ; x7 + x5 + 1 ; x8 + x4 + 1 ;

x5 + x + 1 ; x8 + x + 1 ; … đều có nhân tử chung là x2 + x + 1