Giải thích các bước giải:

$a)D$ đối xứng với $H$ qua $AB$

$\Rightarrow AB$ là trung trực $DH$
$\Rightarrow DA=HA$

$\Rightarrow \Delta DAH$ cân tại $A$

$\Delta DAH$ cân tại $A, AM$ vừa là trung trực vừa là phân giác 

$\Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{A_2}$

Chứng minh tương tự, $\Delta EAH cân tại A, \widehat{A_3}=\widehat{A_4}$

$\widehat{DAE}= \widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\widehat{A_3}+\widehat{A_4}\\ =2\widehat{A_2}+2\widehat{A_3}\\ =2(\widehat{A_2}+\widehat{A_3})\\ =180^\circ$

$\Rightarrow D,A,E$ thẳng hàng$(1)$

$DA=HA, EA=HA\\ \Rightarrow DA=EA(2)$

$(1)(2) \Rightarrow A$ là trung điểm $DE$

$b)AB$ là trung trực $DH$

$\Rightarrow AB \perp DH$

Tương tự $AC \perp EH$ 

$AMHN có \widehat{MAN}=\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=90^\circ$

$\Rightarrow AMHN$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow MN=AH$

$c)\Rightarrow AB$ là trung trực $DH$
$\Rightarrow DA=HA; DB=HB$

Xét $\Delta ADB$ và $\Delta AHB$

$AB:$ chung

$DB=HB\\ AD=AH\\ \Rightarrow \Delta ADB = \Delta AHB\\ \Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{AHB}=90^\circ(3)$

Chứng minh tương tự, $\Delta AEC = \Delta AHC$

$\Rightarrow \widehat{AEC}=\widehat{AHC}=90^\circ(4)\\ (3)(4) \Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^\circ \Leftrightarrow\widehat{BDE}=\widehat{DEC}=90^\circ $

$\Rightarrow BDEC$ là hình thang vuông tại $D,E$

$d)BC=HB+HC=BD+CE$