Đáp án:

$\\$

`a,`

Xét `ΔABE` và `ΔMBE` có :

`hat{ABE}=hat{MBE}` (gt)

`BE` chung

`AB=BM` (gt)

`-> ΔABE= ΔMBE` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{BAE}=hat{BME}` (2 góc tương ứng)

mà `hat{BAE}=90^o` (gt)

`-> hat{BME}=90^o`

hay `ME⊥BC`

$\\$

`b,`

Có : `AB=BM` (gt)

`-> B` nằm trên đường trung trực của `AM` `(1)`

Do `ΔABE = ΔMBE` (cmt)

`-> AE=ME` (2 cạnh tương ứng)

`-> E` nằm trên đường trung trực của `AM` `(2)`

Từ `(1), (2)`

`-> BE` là đường trung trực của `AM`

$\\$

`c,`

Xét `ΔEMC` có :

`hat{EMC}=90^o` (cmt)

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`EC` là cạnh lớn nhất

`-> EM<EC`

mà `AE=EM` (cmt)

`-> AE < EC`

$\\$

`d,`

Xét `ΔAEK` và `ΔEMC` có :

`hat{AEK}=hat{EMC}` (2 góc đối đỉnh)

`AE=ME` (cmt)

`hat{KAE}=hat{CME}=90^o`

`-> ΔAEK = ΔEMC` (góc - cạnh - góc)

`-> AK=MC` (2 cạnh tương ứng)

Có : $\begin{cases} AB + AK=BK\\BM + MC=BC \end{cases}$

mà `AB=BM` (gt) và `AK=MC` (cmt)

`-> BK=BC`

`-> ΔBKC` cân tại `B`

$\\$

`e,`

Có : `CA⊥BK` (gt)

`-> CA` là đường cao của `ΔBKC`

Có : `KM⊥BC` (cmt)

`-> KM` là đường cao của `ΔBKC`

Xét `ΔBKC` có :

`CA` là đường cao

`KM` là đường cao

`CA` cắt `KM` tại `E`

`-> E` là trực tâm của `ΔBKC`

Có : `AB=BM` (gt)

`-> ΔABM` cân tại `B`

`-> hat{BAM}=(180^o - hat{B})/2` (*)

Do `ΔBKC` cân tại `B` (cmt)

`-> hat{BKC}=(180^o - hat{B})/2` (**)

Từ (*) và (**) 

`-> hat{BAM}=hat{BKC}`

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

$→ AM//KC$

`a)`

Xét `ΔABE` và `ΔMBE` có:

        `AB=MB(g``t)`

        `hat{B_1}=hat{B_2}(g``t)`

        `BE:chung`

`⇒ΔABE=ΔMBE(c.g.c)(đpcm)`

`⇒hat{BAE}=hat{BME}(2` góc tương ứng `)`

Mà `hat{BAE}=90^o`

`⇒hat{MBE}=90^o`

`⇒ME⊥BC(đpcm)`

`b)`

Ta có:`AB=BM(g``t)`

`⇒B` nằm trên đường trung trực của `AM(1)`

Theo câu `a)ΔABE=ΔMBE(c.g.c)`

`⇒AE=ME(2` cạnh tương ứng `)`

`⇒E` nằm trên đường trung trực của `AM(2)`

Từ `(1)` và `(2)⇒BE` là đường trung trực của `AM(đpcm)`

`c)`

Xét `ΔCEM` vuông tại `M`.Theo nhận xét về cạnh lớn nhất trong `Δ` vuông,ta có:

                                               `ME<EC`

Mà `AE=ME(cmt)`

`⇒AE<EC`

`d)`

Xét `2Δ` vuông `EAK` và `EMC` có:

              `AE=ME(cmt)`

     `hat{E_1}=hat{E_2}(2` góc đối đỉnh `)`

`⇒ΔEAK=ΔEMC(` cạnh góc vuông-góc nhọn kề `)`

`⇒AK=MC(2` cạnh tương ứng `)`

Ta có:`BK=AB+AK`

          `BC=MB+MC`

Mà `AB=MB(g``t)`

      `AK=MC(cmt)`

`⇒BK=BC`

`⇒ΔBKC` cân tại `B(đpcm)`

`e)`

Xét `ΔBKC` có:

`CA⊥BK(g``t)`

`KM⊥BC(cmt)`

`CA∩KM={E}`

`⇒E` là trực tâm của `ΔBKC(đpcm)`

Ta có:`AB=BM(g``t)`

`⇒ΔABM` cân tại `B`

`⇒hat{BAM}=(180^o-hat{B})/2(3)`

Vì `ΔBKC` cân tại `B`

`⇒hat{BKC}=(180^o-hat{B})/2(4)`

Từ `(3)` và `(4)⇒hat{BAM}=hat{BKC}`

Mà `2` góc này nằm ở vị trí đồng vị

`⇒AM////KC(đpcm)`