Câu 21

Ta có

$V = V_{S.ABC} = V_{S.APQ} + V_{APGB} + V_{QAGC} + V_{G.PQCB} + V_{GAPQ}$

Do đó

$V_{GAPQ} = V - V_{S.APQ} - V_{APGB} - V_{QAGC} - V_{G.PQCB}$

1. Tính $V_{S.APQ}$

Áp dụng công thức tỉ lệ thể tích ta có

$\dfrac{V_{S.APQ}}{V} = \dfrac{SP}{SB}. \dfrac{SQ}{SC} = \dfrac{1}{2} . \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$

Vậy $V_{S.APQ} = \dfrac{V}{4}$

2. Tính $V_{APGB}$

Ta thấy rằng $d(P, (AGB)) = d(P,(ABC)) = \dfrac{1}{2} d(S, (ABC))$.

Do G là trọng tâm tam giác ABC nên $S_{AGB} = S_{BGC} = S_{CGA} = \dfrac{1}{3} S_{ABC}$.

Khi đó ta có

$V_{APGB} = \dfrac{1}{3} S_{AGB} . d(P, (AGB)) = \dfrac{1}{3} . \dfrac{1}{3} S_{ABC} . \dfrac{1}{2} d(S, (ABC)) = \dfrac{1}{6} V_{S.ABC} = \dfrac{V}{6}$

3. Tính $V_{QAGC}$

Tương tự khi tính $V_{APGB}$, ta có

$V_{QAGC} = \dfrac{1}{3} S_{AGC} . d(Q,(AGC)) = \dfrac{1}{3}. \dfrac{1}{3} S_{ABC} . \dfrac{1}{2} d(S,(ABC)) = \dfrac{1}{6} V_{S.ABC} = \dfrac{V}{6}$.

4. Tính $V_{G.PQCB}$

Có PQ là đường tbinh tam giác SBC nên PQ// BC và 2PQ = BC. Do đó

$S_{SPQ} = \dfrac{1}{4} S_{SBC}$. Vậy $S_{PQCB} = \dfrac{3}{4} S_{SBC}$

Lại có $d(G, (PQCB)) = d(G, (SBC)) = \dfrac{1}{3} d(A, (SBC))$

Vậy ta có

$V_{G.PQCB} = \dfrac{1}{3} S_{PQCB} . d(G, (PQCB)) = \dfrac{1}{3} . \dfrac{3}{4} S_{SBC} . \dfrac{1}{3} d(A,(SBC)) = \dfrac{1}{4} V_{S.ABC} = \dfrac{V}{4}$

Vậy

$V_{APQG} = V - \dfrac{V}{4} - \dfrac{V}{6} - \dfrac{V}{6} - \dfrac{V}{4} = \dfrac{V}{6}$

Vậy đáp án là C.