a,

+ Xét ΔABC và ΔHBA có:

$\widehat{B}$ chung

$\widehat{BAC}$ = $\widehat{BHA}$ = $90^{o}$

⇒ ΔABC đồng dạng ΔBHA (g - g)

b, 

+ Vì ΔABC đồng dạng ΔBHA (cmt)

⇒ $\frac{AB}{HB}$ = $\frac{BC}{AB}$ (định lý Talet)

⇒ AB² = BC. HB

+ Ta có: BC = HB + HC

mà BC = 25cm, HC = 16cm (gt)

⇒ HB = 25 - 16 = 9 (cm)

+ Ta có: AB² = BC. HB

mà BC = 25cm (gt), HB = 9cm (cmt)

⇒ AB² = 25. 9 = 225

⇒ AB = $\sqrt{225}$ = 15 (vì AB>0)

c,

+ Vì ΔABC vuông tại A (gt)

⇒ BC² = AB² + AC² (định lý Pitago)

mà BC = 25cm (gt), AB = 15cm (cmt)
⇒ 25² = 15² + AC²

⇒ AC² = 625 - 225 = 400

⇒ AC = $\sqrt{400}$ = 20 (vì AC>0)

+ Vì BN là tia phân giác của $\widehat{ABC}$

⇒ $\frac{AN}{NC}$ = $\frac{AB}{BC}$ (tính chất đường phân giác của tam giác)

⇒ AB = 15cm (cmt), BC = 25 (gt)

⇒ $\frac{AN}{NC}$ = $\frac{AB}{BC}$ = $\frac{15}{25}$ = $\frac{3}{5}$

⇒ $\frac{AN}{AC-AN}$ = $\frac{3}{5}$

⇒ 5AN = 3(AC - AN) (tính chất tỉ lệ thức)

⇒ 5AN = 3AC - 3AN

⇒ 5AN + 3AN = 3AC

⇒ 8AN = 3AC

mà AC = 20cm (cmt)

⇒ 8AN = 3. 20 = 60

⇒ AN = 60 : 8 = 7,5 cm (1)

+ Xét ΔBHM và ΔBAN có:

$\widehat{BHM}$ = $\widehat{BAN}$ = $90^{o}$

$\widehat{HBM}$ = $\widehat{ABN}$ (BN là tia phân giác của $\widehat{ABC}$)

⇒ ΔBHM đồng dạng ΔBAN (g - g)

⇒ $\frac{BH}{AB}$ = $\frac{HM}{AN}$ (định lý Talet)

mà BH = 9, AB = 15, AN = 7,5

⇒ $\frac{9}{15}$ = $\frac{HM}{7,5}$ = $\frac{3}{5}$

⇒ HM = $\frac{7,5. 3}{5}$ = 4,5cm

+ Vì ΔABH vuông tại H

⇒ AB² = AH² + HB²

mà AB = 15, HB = 9

⇒ 15² = AH² + 9²

⇒ AH² = 225 - 81 = 144

⇒ AH = $\sqrt{144}$ = 12 (vì AH>0)

+ Ta có: AH = AM + MH

mà AH = 12, MH = 4,5

⇒ AM = 12 - 4,5 = 7,5 (2)

+ Từ (1) và (2)

⇒ AM = AN (= 7,5cm)

+ Ta có: AC = AN + CN

mà AC = 20, AN = 7,5

⇒ CN = 20 - 7,5 = 12,5

+ Xét ΔCBN có: HK//BN

⇒ $\frac{CK}{CN}$ = $\frac{CH}{CB}$ (định lý Talet)

mà CN = 12,5; CH = 16; CB = 25

⇒ $\frac{CK}{12,5}$ = $\frac{16}{25}$

⇒ CK = $\frac{12,5. 16}{25}$ = 8

+ Ta có:

CK. AB = 8. 15 = 120

CH. AN = 16. 7,5 = 120

⇒ CK. AB = CH. AN (=120)