Đáp án:

 Sửa `F \vdots 120->F \vdots 60` do thử với `n=2=>F=60\cancel{\vdots}120`.

Giải thích các bước giải:

`F=n^5+5n^3-6n(n \in ZZ)`

`F=n(n^4+5n^2-6)`

`F=n(n^4+6n^2-n^2-6)`

`F=n[n^2(n^2+6)-(n^2-6)]`

`F=n(n^2+6)(n^2-1)`

`F=n(n^2-4+10)(n-1)(n+1)`

`F=n(n-1)(n+1)(n^2-4)+10n(n-1)(n+1)`

`F=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+10n(n-1)(n+1)`

Vì `n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)` là tích 5 số nguyên liên tiếp nên trong đó có một số là bội của 5,một số là bội của 4,một số là bội cuả 3

`=>n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)\vdots 60`

Mặt khác: `n(n-1)(n+1)` là tích 3 số nguyên liên tiếp nên trong đó có một số là bội của 3,một số là bội của 2

`=>n(n-1)(n+1)\vdots 6`

`=>10n(n-1)(n+1)\vdots 60`

`=>n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+10n(n-1)(n+1)\vdots 60`

Hay `F=n^5+5n^3-6n\vdots 60AAn\in ZZ`.

F= $n^{5}$ + $5n^{3}$ - $6n$ 

 =  $n$($n^{4}$ + $5n^{2}$ - $6$)  

=$n$($n^{4}$ - $n^2$ + $6n^{2}$ - $6$)  

= $n$$[$$n^{2}$($n^2$ - 1) + $6(n^{2}$ - $1$)$]$  

=  $n$ ($n^{2}$ -1)( $n^{2}$ +6)

=  $n$ ($n$ -1)($n$+1)( $n^{2}$ +6)

=  $n$ ($n$ -1)($n$+1)( $n^{2}$ -4 + 10 )

= $n$ ($n$ -1)($n$+1)( $n^{2}$ -4) + 10$n$ ($n$ -1)($n$+1)

=$n$ ($n$ -1)($n$+1)( n-2)(n+2) + 10$n$ ($n$ -1)($n$+1) chia hết cho 2;3;4;5

mà (2;3;4;5) = 1 ; 2.3.4.5 = 120

nên F = $n^{5}$ + $5n^{3}$ - $6n$  chia hết 120