Đáp án:

$2$ khẳng định $(2);(3)$ đúng.

Giải thích các bước giải:

$(1)y=f(x)=x^2-2x \ \ \ \ \mathbb{D}=\mathbb{R}\\ \circledast x_1>x_2>1\\ f(x_1)-f(x_2)=x_1^2-2x_1-(x_2^2-2x_2)\\ =x_1^2-2x_1-x_2^2+2x_2\\ =x_1^2-x_2^2-2x_1+2x_2\\ =(x_1-x_2)(x_1+x_2)-2(x_1-x_2)\\ =(x_1-x_2)(x_1+x_2-2)\\ x_1>x_2>1 \Rightarrow x_1-x_2>0; x_1+x_2-2>0\\ \Rightarrow (x_1-x_2)(x_1+x_2-2) >0\\ \Leftrightarrow f(x_1)-f(x_2)>0\\ \Leftrightarrow f(x_1)>f(x_2)$

$\Rightarrow f(x)$ đồng biến trên $(1; + \infty)$

$\circledast x_2<x_1<1\\ \Rightarrow (x_1-x_2)(x_1+x_2-2) <0\\ \Leftrightarrow f(x_1)-f(x_2)<0\\ \Leftrightarrow f(x_1)<f(x_2)$

$\Rightarrow f(x)$ nghịch biến trên $(- \infty;1)$

$\Rightarrow$ Khẳng định sai

$(2)y=f(x)=\dfrac{x}{x+1} \ \ \ \ \mathbb{D}=\mathbb{R} \setminus \{-1\}\\ \circledast x_1>x_2>-1\\ f(x_1)-f(x_2)=\dfrac{x_1}{x_1+1}-\dfrac{x_2}{x_2+1}\\ =\dfrac{x_1(x_2+1)-x_2(x_1+1)}{(x_1+1)(x_2+1)}\\ =\dfrac{x_1-x_2}{(x_1+1)(x_2+1)}\\ x_1>x_2>-1 \Rightarrow x_1-x_2>0; (x_1+1)(x_2+1)>0\\ \Rightarrow \dfrac{x_1-x_2}{(x_1+1)(x_2+1)}>0\\ \Leftrightarrow f(x_1)-f(x_2)>0\\ \Leftrightarrow f(x_1)>f(x_2)$

$\Rightarrow f(x)$ đồng biến trên $(-1; + \infty)$

$\circledast x_2<x_1<-1\\ \Rightarrow \dfrac{x_1-x_2}{(x_1+1)(x_2+1)}>0\\ \Leftrightarrow f(x_1)-f(x_2)>0\\ \Leftrightarrow f(x_1)>f(x_2)$

$\Rightarrow f(x)$ đồng biến trên $(-\infty;-1)$

$\Rightarrow $Khẳng định đúng

$c)(3)y=f(x)=\dfrac{4}{x+1} \ \ \ \ \mathbb{D}=\mathbb{R} \setminus \{-1\}\\ \circledast x_1>x_2>-1\\ f(x_1)-f(x_2)=\dfrac{4}{x_1+1}-\dfrac{4}{x_2+1}\\ =\dfrac{4(x_2+1)-4(x_1+1)}{(x_1+1)(x_2+1)}\\ =\dfrac{-4(x_1-x_2)}{(x_1+1)(x_2+1)}\\ x_1>x_2>-1 \Rightarrow x_1-x_2>0; (x_1+1)(x_2+1)>0\\ \Rightarrow \dfrac{-4(x_1-x_2)}{(x_1+1)(x_2+1)}<0\\ \Leftrightarrow f(x_1)-f(x_2)<0\\ \Leftrightarrow f(x_1)<f(x_2)$

$\Rightarrow f(x)$ nghịch biến trên $(-1; + \infty)$

$\circledast x_2<x_1<-1\\ \Rightarrow \dfrac{-4(x_1-x_2)}{(x_1+1)(x_2+1)}<0\\ \Leftrightarrow f(x_1)-f(x_2)<0\\ \Leftrightarrow f(x_1)<f(x_2)$

$\Rightarrow f(x)$ nghịch biến trên $(-\infty;-1)$

$\Rightarrow $Khẳng định đúng

$(4)y=(1-\sqrt{2})x+3 \ \ \ \ \mathbb{D}=\mathbb{R}\\ 1-\sqrt{2}<0$

$\Rightarrow y=(1-\sqrt{2})x+3$  nghịch biến trên $\mathbb{R}$

(Hàm số $y=ax+b(a \ne 0)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $a<0$; đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $a>0$)

$\Rightarrow $Khẳng định sai