E là trung điểm AC

D là trung điểm BC

`text{⇒ AB; BE là đường trung tuyến ΔHBC}`

AD ∩ BF = {G}

`text{⇒ G là trọng tâm ΔABC}`

`text{⇒ AG=}` `1/3``text{AD ⇒ AG= 2GD}`

@Sum

Đáp án:

Vì E là trung điểm của cạnh AC nên AE và CE bằng `1/2` AC.

Do AE bằng `1/2` AC nên diện tích hình tam giác ABE bằng `1/2` diện tích hình tam giác ABC.

Do CE bằng `1/2` AC nên diện tích hình tam giác BCE bằng `1/2` diện tích hình tam giác ABC.

Vì D là trung điểm của BC nên BD và CD bằng `1/2` BC. Vậy diện tích hình tam giác BDE bằng `1/2` diện tích hình tam giác BCE.

`->`Diện tích hình tam giác BDE bằng `1/2*1/2=1/4` diện tích hình tam giác ABC.

Ta có tỉ số diện tích hình tam giác ABE và diện tích hình tam giác BDE là $\dfrac{1}{2}:\dfrac{1}{4}=2$.

Vậy diện tích hình tam giác ABE gấp `2` lần diện tích hình tam giác BDE.

Ta thấy hình tam giác ABE có chiều cao AG và hình tam giác BDE có chiều cao GD. Hai hình tam giác có chung đáy BE nên độ dài hai đáy của hai hình tam giác bằng nhau.

Đã được chứng minh ở trên hai hình tam giác có chung độ dài đáy và diện tích của hình tam giác ABE bằng `2` lần diện tích hình tam giác BDE nên chiều cao của hình tam giác ABE bằng `2` lần chiều cao cua hình tam giác BDE. Chiều cao ở đây là cạnh AG và cạnh GD. Từ đó ta chứng minh được AG gấp đôi GD.

Vậy AG gấp đôi GD.