Gọi hai số cần tìm là $x$ và $x+1$ ($x\in\mathbb{Z}$)

Hiệu hai lập phương của chúng là $2006$ (số dương) nên ta có phương trình:

$(x+1)^3-x^3=2006$

$\to x^3+3x^2+3x+1-x^3-2006=0$

$\to 3x^2+3x-2005=0$

$\Delta=3^2-4.3.(-2005)=24069$ (không là số chính phương)

Do đó phương trình không thể có nghiệm nguyên. Vậy không có hai số thoả mãn.

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Gọi hai số nguyên liên tiếp là `a, a+1`

Ta có: Hiệu các lập phương bằng 2006

`a^3-(a+1)^3=2006`

`⇔ a^3-(a^3+3a^2+3a+1)=2006`

`⇔ a^3-a^3-3a^2-3a-1=2006`

`⇔ 3a^2+3a+2007=0`

`⇔ 3(a^2+a+669)=0`

`⇔ 3(a+1/2)^2+\frac{8025}{4}=0`

Do `3(a+1/2)^2 \ge 0 \forall a`

`⇒ 3(a+1/2)^2+\frac{8025}{4} \ge \frac{8025}{4} \forall a`

`⇒` PT vô nghiệm

Vậy không tồn tại 2 số nguyên liên tiếp sao cho hiệu các lập phương của chúng bằng 2006