a)

Áp dụng hệ thức lượng : 

$AH^2=BN.HC=3,6.6,4$

$→AH=\sqrt{3,6.6,4}=4,8 ( cm )$

Áp dụng định lí Pi-ta-go :

$AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{4,8^2+3,6^2}=6 ( cm )$

$AC=\sqrt{AH^2+CH^2}-\sqrt{4,8^2+6,4^2}=8 ( cm )$

Theo tỉ số lượng giác :

$sinB=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4}{5}$

$→\widehat{ABC} ≈ 53,8°$

$→\widehat{ACB} ≈ 36,2°$

b)

$M,N$ là hình chiếu của $H$ trên $AB , AC$

$→\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=90°=\widehat{BAC}$

$→AMHN$ là hình chữ nhật

$→MN=AH=4,8 ( cm )$

Áp dụng hệ thức lượng , ta có :

$HM^2=AM.BM$

$HN^2=AN.NC$

Theo định lí Pi-ta-go : $AH^2=AM^2+HM^2$

Mà $AM=HN$

$→AH^2=HM^2+HN^2=AM.BM+AN.NC$

c)

$AMHN$ là hình chữ nhật 

$→OA=ON → ΔOAN$ cân tại $O$

$sinOAN=sinHAC=\dfrac{6,4}{8}=\dfrac{4}{5}$

$→\widehat{OAN}=\widehat{ONA}=53,8°$

$→\widehat{AON}=72,4°$

$→sinAON=\dfrac{24}{25}$

Đáp án:

a,AB=6 cm

AC=8cm

BC=10cm

AH=24/5cm

b, MN=24/5cm

 c,sin ∠AON=24/25

Giải thích các bước giải:

 a,Áp dụng hệ thức lượng vào ΔABC vuông tại A ta có :

AB²=BH.BC

⇔AB²=BH.(BH+CH) =3,6.(3,6+6,4)

⇔AB²=36  ⇒AB=6 cm 

AC²=HC.BC

⇔AC²=HC.(HC+BH)=6,4.(3,6+6,4)=64

⇒AC=8cm

AH²=BH.BC

⇔AH²=6,4.3,6=576/25

⇔AH=24/5 cm

AB²+AC²=BC²

⇔6²+8²=BC²

⇔BC²=100

⇒BC=10cm 

b, Xét  tứ giác AMHN có 4 góc vuông 

⇒tứ giác AMHN là hình chữ nhật

⇒AH=MN=24/5 cm

Vậy MN=24/5 cm

c, Do tứ giác AMHN là hình chữ nhật

⇒ΔAON cân tại O

⇒∠OAN=∠ANO

sin ∠CAH=6,4/8=4/5

⇒∠CAH=53,13

⇒∠OAN=∠ANO=53,13⇒∠AON=73,74

⇒sin ∠AON=24/25