Hình ảnh

$\text{Đáp án:}$

$a)\text{Xét ΔABC vuông tại A ta có:}$

$\sin(\widehat{ABC})=\dfrac{AC}{BC}$ 

$⇒AC=BC.\sin(\widehat{ABC})$

$⇒AC=20.\sin(30^o)$

$⇔AC=10(cm)$

$\cos(\widehat{ABC})=\dfrac{AB}{BC}$ 

$⇒AB=\cos(\widehat{ABC}).BC$

$⇒AB=20.\cos(30^o)$

$⇔AB=10\sqrt{3}$

 $b)\text{Vì phân giác trong và phân giác ngoài vuông góc với nhau nên $\widehat{MCN}=90^o$}$

$\text{Lại có:}$

$\widehat{AMC}=90^o$

$\widehat{ANC}=90^o$

$⇒\text{Tứ giác AMCN là hình chữ nhật}$

$\text{Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo}$

$⇒ OM=OC=OA=ON$

$⇒ΔMOC \text{cân tại O}$

$⇒\widehat{OMC}=\widehat{OCM}$

$\widehat{OCM}=\widehat{MCB}\text{(CM là tia phân giác)}$

$⇒\widehat{OMC}=\widehat{MCB}$

$\text{Mà 2 góc ở vị tí so le trong⇒MN||BC}$

$MN=AC\text{(Do tứ giác AMCN là hình chữ nhật) }$

$c)\text{Vì CM là tia phân giác }$

$⇒\widehat{MCB}=\widehat{ACM}= \dfrac{1}{2}\widehat{ACB} $

$\text{Mà ΔABC vuông tại A lại có $\widehat{ABC}=30^o⇒\widehat{ACB}=60^o$ }$

$⇒\widehat{ACM}=\widehat{ABC}=30^o$

$\widehat{AMC}=\widehat{BAC}=90^o$

$⇒ΔAMC\backsim\widehat{BAC}(g.g)$

$⇒\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{1}{2}$