a)

$\widehat{BAC}=90°$ ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

$→ΔABC$ vuông tại $A$

Ta có : $OA=OB=AB=R$

$→ΔOAB$ là tam giác đều 

$→\widehat{ABC}=60°$

$→\widehat{ACB}=30°$

$AB=R , BC=2R$ . Áp dụng định lí Pi-ta-go , ta có :

$AB^2+AC^2=BC^2$

$↔AC^2=BC^2-AB^2=4R^2-R^2=3R^2$

$↔AC=R\sqrt{3}$

b)

Ta có $\widehat{BDC}=90°$ ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

$DH$ là đường cao $→\widehat{DHB}=90°$

$\widehat{DBC}+\widehat{BDH}=90°$

$\widehat{CDA}+\widehat{BDH}=90°$

$→\widehat{DBC}=\widehat{CDA}$

Mà $\widehat{DBC}=\widehat{DAC} → \widehat{CDA}=\widehat{CAD}$

$→ΔCAD$ cân tại $C$ có $CH$ là đường cao 

$→CH$ là đường phân giác của $ΔCAD$

$→\widehat{ACD}=2\widehat{ACB}=2.30°=60°=\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$

$→ΔACD$ cân tại $A$

→$ΔACD$ là tam giác đều

c)

$ED$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $D$

$→\widehat{EDA}=\widehat{DAC}$ ( Chắn cung $AD$ )

Mà $\widehat{DAC}=\widehat{AOE}=60°$

$→\widehat{EDA}=\widehat{AOE}$

→ Tứ giác $EAOD$ nội tiếp

$→\widehat{EAO}+\widehat{EDO}=180°$

$↔\widehat{EAO}=90°$ ( Vì $\widehat{EDO}=90°$ )

→ $EA$ là tiếp tuyến của $(O)$

d)

Ta có : $\widehat{EAB}=\widehat{ACB}$ ( chắn cung $AB$ )

Mà $\widehat{ACB}=\widehat{BAH}$ ( Cùng phụ $\widehat{ABC}$ )

$→\widehat{EAB}=\widehat{BAH}$

→$AB$ là tia phân giác của $\widehat{EAH}$

Áp dụng tính chất tia phân giác , ta có :

$→\dfrac{EB}{BH}=\dfrac{AE}{AH}$

Ta có : $\widehat{BAC}=90°$

$→AC$ là tia phân giác của $\widehat{xAH}$ ( Tia phân giác của hai hóc kề bù tạo thành một góc $90°$ )

Áp dụng tính chất tia phân giác góc ngoài của tam giác , ta có :

$\dfrac{AE}{AH}=\dfrac{EC}{CH}$

$→\dfrac{EB}{BH}=\dfrac{EC}{CH}$

$→EB.CH=BH.EC$