`a)`

Xét `ΔAEF` có:

`AD=DE(g``t)`

`text{DG//BC(gt)}`

`⇒DG` là đường trung bình của `ΔAEF`

`⇒GA=GF(` tính chất đường trung bình của `Δ)(1)`

Xét tứ giác `BDGC` có:

      `text{DG//BC(gt)}`

`⇒` tứ giác `BDGC` là hình thang `(` dấu hiệu nhận biết hình thang `)`

Ta có:`text{DG//BC(gt)`

          `text{EF/BC(gt)}`

`⇒text{DG//EF//BC}`

Xét hình thang `BDGC` có:

        `DE=BE(g``t)`

   `text{DG//EF//BC(cmt)}`

 `⇒EF` là đường trung bình của hình thang `BDGC`

`⇒GF=FC(` tính chất đường trung bình của hình thang `)(2)`

Từ `(1)` và `(2)⇒GA=GF=FC(đpcm)`

`b)`

Vì `DG` là đường trung bình của `ΔAEF`

`⇒DG=1/2EF(` tính chất đường trung bình của `Δ)`

`⇒EF=2DG=2.5=10(cm)`

Vì `EF` là đường trung bình của hình thang `BDGC`

`⇒EF=(DG+BC)/2(` tính chất đường trung bình của hình thang `)`

`⇒10=(5+BC)/2`

`⇒5+BC=20`

`⇒BC=20-5=15(cm)`

Vậy `BC=15cm`

Đáp án:Giải thích các bước giải:

 a) Xét ΔAEF có : $\left \{ {{AD=DE (gt)} \atop {DG//EF( cùng  song  song với BC)}} \right.$ 

⇒AG = GF

$\textit{ (tính chất đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác )}$ (1)

     Vì DG // BC ( gt) nên DGCB là hình thang 

   Xét hình thang DGCB có : $\left \{ {{DG//BC(gt)} \atop {DE=EB(gt)}} \right.$ 

⇒ GF = FC

$\textit{ (tính chất đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác )}$ (2)

$\textit{Từ (1) và (2) , suy ra : AG=GF=FC}$ (đpcm)

b) Xét ΔAEF có : $\left \{ {{AD=DE(gt)} \atop {AG=GF ( từ 1)}} \right.$ 

nên DG là đường trung bình của ΔAEF

⇒ DG = $\frac{EF}{2}$  ⇒ EF = DG . 2 = 5 . 2 = 10 ( cm)

 Xét hình thang DGCB có :$\left \{ {{DE=EB(gt)} \atop {GF=FC ( từ 2) }} \right.$ 

⇒ EF là đường trung bình của hình thang DGCB 

⇒ EF = $\frac{DG+BC}{2}$

⇔10=$\frac{5+BC}{2}$ ⇔BC= 15 (cm) ( đpcm)