Đáp án:

 Tham khảo hình vẽ ở dưới!

a)Trong tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến (gt)

-->AM=1/2.BC=BM=MC (t/c đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Xét tam giác DBM và tam giác DAM có:

AM=BM(cmt)

BMD=AMD (DM là tia phân giác BMA (gt))

DM chung

--> tam giác DBM=tam giác DAM (c.g.c)

-->DBM=DAM (2 góc tương ứng)

Mà DAM=90 độ (vì đt d vuông góc với AM;D thuộc d)

-->DBM=90 độ hay DB vuông góc BM hay BC

CM tương tự: tam giác MAE=tam giác MCE (c.g.c)

-->MAE=MCE (2 góc tương ứng)

Mà MAE=90 độ

-->MCE=90 độ hay CE vuông góc MC hay BC

Ta có:

BD vuông BC (cmt)

CE vuông BC (cmt) 

-->BD//CE

Tứ giác BCED có BD//CE (cmt)

--> BCED là hình thang.

b) Ta có: BMA+CMA=180 độ (2 góc kề nhau)

-->1/2(BMA+CMA)=1/2.180 độ=90 độ

<=>DMA+EMA=DME=90 độ (DMA=1/2.BMA và EMA=1/2.CMA)

Trong tam giác DME vuông tại M có đường cao AM

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

DA.AE=AM² (1)

Vì tam giác BDM=tam giác ADM (theo a)

-->BD=AD (2)

Vì tam giác MAE=tam giác MCE (theo a)

-->AE=CE (3)

Từ (1) (2) (3) -->BD.EC=DA.AE=AM²

Ta lại có: AM=1/2.BC -->AM²=1/4.BC²

-->BD.EC=1/4.BC²

c) Ta có: Tam giác BMA cân tại M (BM=MA)

lại có:DM là đường phân giác (gt)

--> DM cũng là đường cao

--> DM vuông AB

Mà AC vuông AB (tam giác ABC vuông tại A)

-->DM//AC

-->BMD=BCA (2 góc đồng vị)

Xét tam giác MBD và tam giác CAB có:

BMD=ACB (cmt)

DBM=BAC=90 độ

--> tam giác MBD đồng dạng tam giác CAB (g.g)

-->MB/AC=BD/AB (cặp cạnh tương ứng)

Mà AC=2AB (gt)

-->MB/2AB=BD/AB

<=>MB/2=BD

-->MB=2BD

<=>2MB=4BD hay BC=4BD (BC=2MB)

Theo b) ta có:

BD.EC=1/4.BC²

-->4.BD.EC=BC²

Mà 4.BD=BC (cmt)

-->EC=BC²/4BD=BC

-->EC=BC (đpcm)

Chúc bạn học tốt!

Giải thích các bước giải: