Giải thích các bước giải:

$a)\Delta ABC$, đường cao $BE, CF$ cắt nhau tại $O$

$\Rightarrow O$ là trực tâm $\Delta ABC$

$\Rightarrow AO \perp BC$

Mà $\Delta ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow AO$ đồng thời là đường cao, phân giác, trung tuyến, trung trực 

$b)\Delta ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{FBC}=\widehat{ECB}$

Xét $\Delta FBC$ và $\Delta ECB$

$BC$: chung

$\widehat{FBC}=\widehat{ECB}\\ \widehat{BFC}=\widehat{CEB}=90^\circ\\ \Rightarrow \Delta FBC = \Delta ECB\\ \Rightarrow FB=EC(1)$

Mà $AB=AC$

$\Rightarrow AF=AE$

$\Rightarrow \Delta AFE$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{AFE}=\dfrac{180^\circ-\widehat{FAE}}{2}=\dfrac{180^\circ-\widehat{BAC}}{2}$

$\Delta ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{ABC}=\dfrac{180^\circ-\widehat{BAC}}{2}\\ \Rightarrow \widehat{AFE}=\widehat{ABC}\\ \Rightarrow EF//BC(2)$

$(1)(2) \Rightarrow BFEC$ là hình thang cân

$c)DM//AB\\ CF \perp AB\\ \Rightarrow DM \perp CF$

Tương tự $DN \perp BE$

$\Delta FBC = \Delta ECB\\ \Rightarrow \widehat{C_1}=\widehat{B_1}$

Mà $\widehat{B_1}+\widehat{O_1}=90^\circ$

$\widehat{C_1}+\widehat{O_2}=90^\circ\\ \Rightarrow \widehat{O_1}=\widehat{O_2}$

Xét $\Delta OMD$ và $\Delta OND$

$OD:$ chung

$\widehat{OMD}=\widehat{OND}=90^\circ\\ \widehat{O_1}=\widehat{O_2}\\ \Rightarrow  \Delta OMD = \Delta OND\\ \Rightarrow  MD =ND$

$\Rightarrow  \Delta MND$ cân tại $D$

$d)\Delta BEC$ vuông tại $E$, trung tuyến $ED$ bằng nửa cạnh huyền $BC$

$\Rightarrow ED=BD$

$\Rightarrow \Delta EBD$ cân tại $D$

Có $DN$ là đường cao

$\Rightarrow DN$ cũng là trung tuyến

$\Rightarrow N$ là trung điểm $BE$

Chứng minh tương tự, $M$ là trung điểm $CF$

$\Delta OMD = \Delta OND\\ \Rightarrow  OM=ON; MD=ND$

$\Rightarrow OD$ là trung trực $MN$

$\Rightarrow OD \perp MN\\ \Leftrightarrow AD \perp MN$

Mà $AD \perp BC$

$\Rightarrow MN//BC$

$\Delta BEC, N$ là trung điểm $BE, MN//BC$

$\Rightarrow MN$ đi qua trung điểm $EC$

Chứng minh tương tự $\Rightarrow MN$ đi qua trung điểm $BF.$