Giải thích các bước giải:

$a/$ $*~$Tính độ dài của $MN$

Xét $Δ~ABC$ có $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$

$⇒~MN$ là đường trung bình của $Δ~ABC$

$⇒~MN//AC$ và $MN=\frac{AC}{2}$ ( tính chất đường trung bình của $Δ$ )

Vậy: $MN=\frac{9}{2}=4,5~(cm)$

$b/$

$*~$Chứng minh: Tứ giác $AEBN$ là hình bình hành:
Xét tứ giác $AEBN$

Ta có: $M$ là trung điểm của $AB$ ( gt )
          $M$ là trung điểm của $EN$ ( vì $E$ đối xứng với $N$ qua $M$)

Vậy: Tứ giác $AEBN$ là hình bình hành. (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).

$*~$Chứng minh: $PC=3.PL$

Xét $Δ~AEN$ có $P$ và $M$ lần lượt là trung điểm của $AN$ và $NE$

$⇒~$ $PM$ là đường trung bình của $Δ~AEN$

$⇒~PM//AE$ và $PM=\frac{AE}{2}$ ( tính chất đường trung bình của $Δ$ )

$⇒~\frac{PM}{AE}=\frac{PL}{AE}=\frac{1}{2}$ 

$⇒~\frac{PL}{PC}=\frac{PL}{PE}=\frac{1}{3}$ 

Vậy: $PC=3.PL$ (đpcm)

$c/$
$*~$Chứng minh:$DPNQ$ là hình thoi.
Gọi $F$ là giao điểm của $DN$ và $PQ$

Ta có: $P$ đối xứng với $Q$ qua $BC$

$⇒~PQ⊥BC$ tại $F$ và $F$ là trung điểm của $PQ$

Xét tứ giác $AENC$

Ta có: $AE//CN$ và $AE~=~CN~(=BN)$

$⇒~$ Tứ giác $AENC$ là hình bình hành

$⇒~P$ là trung điểm của $AN$Xét $Δ~ADN$

Ta có: $P$ là trung điểm của $AN$           

$PF//AD$(cùng $⊥BC$)

$⇒~PF$ là đường trung bình của $Δ~ADN$

$⇒~F$ là trung điểm của $DN$

Xét tứ giác $DPNQ$

Ta có: $F$ là trung điểm của $DN$         

          $F$ là trung điểm của $PQ$

$⇒~$ Tứ giác $DPNQ$ là hình bình hành (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường )

Mà: $PQ⊥DN$

Vậy: Tứ giác $DPNQ$ là hình thoi. (Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc với nhau).

$d/$

$*~$Chứng minh:$BNSE$ là hình thang cân:

Ta có: AEBN là hình bình hành (cmt)
$⇒~AE//AN$

Mà $S∈ AE$
$⇒~ES//BN$

Ta có: $DPNQ$ là hình thoi (cmt)

$⇒~ND$ là đường phân giác $\widehat{PNQ}$

$⇒~\widehat{QND}=\widehat{PND}$

Mà: $\widehat{QND}=\widehat{SNC}$ ($2$ góc đối đỉnh)

$⇒~\widehat{PND}=\widehat{QND}$ 
Mà: $\widehat{BES}=\widehat{PND}$ (tính chất hình bình hành $AEBN$)
Lại có: $\widehat{QND}=\hat{S}$ ($2$ góc so le trong do $ES//BN$)
$⇒~\widehat{BES}=\hat{S}$
Xét tứ giác $BNSE$
Ta có: $ES//BN$ (cmt)

⇒ Tứ giác $BNSE$ là hình thang
Mà: $\widehat{BES}=\hat{S}$ (cmt)
Vậy: Hình thang $BNSE$ là hình thang cân.

Bạn Tham Khảo Nhoa
CHÚC  BẠN HỌC TỐT ^^

# NO COPY
NPQAn

Hình chỉ mang tính chất minh họa. Khi bạn chú ý vẽ thêm các kí hiệu hình học nha(góc vuông, trung điểm, đối xứng,...). Mình vẽ trên Paint nên chưa chính xác. Mong bạn thông cảm.

Đáp án:

Giải thích các bước giải: