Đáp án:

Nếu mỗi con trâu ăn gấp 3 lần thì tổng số bó có là :

`100 xx 3 = 300` (bó)

Gọi số trâu đứng là A, trâu nằm là B, trâu già là C

Do có tất cả 100 con trâu

`-> A + B + C = 100`

Lại có : Do mỗi con trâu đứng ăn năm bó cỏ, mỗi trâu nằm ăn ba bó cỏ và mỗi trâu già ăn `1/3` bó cỏ 

`->` nếu mỗi con ăn gấp 3 lần thì trâu đứng ăn 15 bó cỏ, trâu nằm ăn 9 bó cỏ và trâu già ăn 1 bó cỏ. 

Theo đề bài:

`-> A xx 15 + B xx 9 + C xx 1 = 100 xx 3`

`-> A xx 15 + B xx 9 + C xx 1 = 300`

`-> (A + B + C) + A xx 14 + B xx 8 = 300`

`-> A xx 14 + B xx 8 + 100 = 300`

`-> A xx 14 + B xx 8 = 300 - 100 = 200`

`-> (A xx 14 + B xx 8) : 2= 200 : 2`

`-> A xx 7 + B xx 4 = 100`

Vì ` B xx 4` và 100 đều `\vdots` 4 

`-> A xx 7` cũng `\vdots` 4.

`->` Số trâu đứng `\vdots` 4

Vì `A xx 7` phải `< 100` 

`->` số trâu đứng lớn nhất có thể là `14 ( 14 xx 7 = 98 < 100 )`

Do số trâu đứng `\vdots` 4 nên ta chỉ xét TH trâu đứng là `4,8,12`

- Nếu số trâu đứng là 5

`-> 4 xx 7 + B xx 4 = 100`

`->` `B = (100 - 28) : 4 = 18`

`->` Số trâu gà lúc đó là :

`100 - 4 - 18 = 78` ( con trâu )

- Nếu số trâu đứng là 8 

`-> 8 xx 7 + B xx 4  = 100`

`-> B = (100-56) : 4 = 11`

`->` Số trâu già lúc đó là : `100 - 8 - 11 = 81` ( con )

- Nếu số trâu đứng là 12 

`-> 12 xx 7 + N xx 4 = 100`

`-> N = (100-84) : 4 = 4`

Số trâu già khi đó là :

`100 - 4 - 12 = 84`

Vậy ta có 3 số trâu thỏa mãn đề bài :

+ Số trâu đứng là 4 con, trâu nằm là 18 con và trâu già là 78 con.

+ Số trâu đứng là 8 con, trâu nằm là 11 con và trâu già là 81 con.

+ Số trâu đứng là 12 con, trâu nằm là 4 con và trâu già là 84 con.

$\text{ Số trâu mỗi loại là: Đáp án 1: Trâu đứng 4, trâu nằm 18, trâu già 78. Đáp án 2: Trâu đứng 8, trâu nằm 11, trâu già 81. Đáp án 3: Trâu đứng 12, trâu nằm 4, trâu già 84.}$

Giải thích các bước giải:

$\text{Số trâu già phải là bội số của 3. Và ta cũng đã biết nếu trâu già (VD là 75 thì số còn lại sẽ là 25 con đứng và nằm, mà 75 trâu già chén hết 25 cỏ, vậy là còn lại là 75 cỏ và 25 trâu nằm vùa đủ.... vậy là không có con nào đứng......}$
$\text{Đặt vấn đề con già là 87 thì sẽ hết 29 cỏ, lúc này trâu đứng và nằm sẽ là}$ 100 - 87 = 13 và cỏ còn lại là $100 - 29 = 71$
13 con trâu với 71 cỏ thì dù toàn bộ đứng cũng không hết cỏ $13 . 5 = 65$, thừa 6 cỏ mà không có con nằm nào vì thế chỉ có thể số già lớn hơn 75 và chỉ nhỏ hơn 87 tìm bộ số của 3 trong đoạn này ta có $78, 81, 84.$
Nếu là 78 già hết 26 cỏ tức là còn 22 trâu với 74 cỏ, giả sử $14 . 5 = 70$ và$ 8 . 3 = 24$ vô lý. Lần lượt 13,...vẫn vô lý, nên trâu đứng chắc chắn phải từ 1 trở lên mà $1 . 5 = 5$, vậy còn 21 nằm với 69 cỏ => vô lý.
Lần lượt như vậy sẽ có kết quả trên.