Đáp án:

$\begin{array}{l}
1)y = \dfrac{{x + 2\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\\
 = \sqrt x  + 2 + \dfrac{1}{{\sqrt x }}\\
Theo:Co - si:\\
\sqrt x  + \dfrac{1}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\dfrac{1}{{\sqrt x }}}  = 2\\
 \Leftrightarrow x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} + 2 \ge 4\\
 \Leftrightarrow y \ge 4\\
 \Leftrightarrow GTNN:y = 4\,khi:x = 1\\
3)\\
y = \dfrac{{3 + x}}{{\sqrt x  + 1}} = \dfrac{{x + \sqrt x  - \sqrt x  - 1 + 4}}{{\sqrt x  + 1}}\\
 = \sqrt x  - 1 + \dfrac{4}{{\sqrt x  + 1}}\\
 = \sqrt x  + 1 + \dfrac{4}{{\sqrt x  + 1}} - 2\\
Theo\,Co - si:\\
\sqrt x  + 1 + \dfrac{4}{{\sqrt x  + 1}} \ge 2\sqrt {\left( {\sqrt x  + 1} \right).\dfrac{4}{{\sqrt x  + 1}}}  = 4\\
 \Leftrightarrow \sqrt x  + 1 + \dfrac{4}{{\sqrt x  + 1}} - 2 \ge 2\\
 \Leftrightarrow y \ge 2\\
 \Leftrightarrow GTNN:y = 2\\
Khi:\sqrt x  + 1 = 2 \Leftrightarrow x = 1\\
8)\\
y = \dfrac{{6x + 5}}{{\sqrt x  + 2}}\\
 = \dfrac{{6x + 12\sqrt x  - 12\sqrt x  - 24 + 29}}{{\sqrt x  + 2}}\\
 = 6\sqrt x  - 12 + \dfrac{{29}}{{\sqrt x  + 2}}\\
 = 6\left( {\sqrt x  + 2} \right) + \dfrac{{29}}{{\sqrt x  + 2}} - 24\\
 \ge 2\sqrt {6\left( {\sqrt x  + 2} \right).\dfrac{{29}}{{\sqrt x  + 2}}}  - 24\\
 \Leftrightarrow y \ge \sqrt {174}  - 24\\
 \Leftrightarrow GTNN:y = \sqrt {174}  - 24\\
14)\\
y = \dfrac{{2x - 3}}{{2\sqrt x  + 3}}\\
 \Leftrightarrow 2y\sqrt x  + 3y = 2x - 3\\
 \Leftrightarrow 2x - 2y.\sqrt x  - 3 - 3y = 0\\
Dk:\Delta ' \ge 0\\
 \Leftrightarrow {y^2} - 2.\left( { - 3 - 3y} \right) \ge 0\\
 \Leftrightarrow {y^2} + 6y + 6 \ge 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {y + 3} \right)^2} - 3 \ge 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {y + 3} \right)^2} \ge 3\\
 \Leftrightarrow y + 3 \ge \sqrt 3 \\
 \Leftrightarrow y \ge \sqrt 3  - 3\\
 \Leftrightarrow GTNN:y = \sqrt 3  - 3
\end{array}$