Xét `DeltaDBC` có `\hat\{ADB}` là góc ngoài nên `\hat{ADB}=\hat{B_2}+\hatC`

`=>\hatC=\hat{ADB}-\hat{B_2}=45^0-frac\{\hatB}{2}`

Xét `DeltaABC` có `\hat{A_1}` là góc ngoài nên :

`=>\hat{A_1}=\hatB+\hatC=\hatB+45^0-frac\{\hatB}{2}`

`=>\hat{A_1}=frac\{\hatB}{2}+45^0`        `(1)`

Xét `DeltaHAC` vuông tại `H` có :

`\hat{A_2}=90^0-\hatC=90^0-(45^0-frac\{\hatB}{2})=45^0+frac\{\hatB}{2}`   `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` `=>\hat{A_1}=\hat{A_2}`  `(đpcm)`

Xét `DeltaABH` có `D` là giao điểm của một tia phân giác ngoài với một tia phân giác trong không kề nên tia `HD` phải là tia phân giác ngoài tại đỉnh `H` 

`=>\hat{DHC}=45^0`

`=>HD` // `AB` ( vì có cặp góc đồng vị bằng nhau )

Đáp án+Giải thích các bước giải:

Ta có: 

$∠BAH +∠ABH =^{}$ $90^{0}$ ⇒ $∠BAH = ^{}$ $90^{0}$ $-∠ABH = ^{}$ $90^{0}$ - $45^{0}$ $= 45^{0}$ 

$∠ABD= ∠CBD = ^{}$ $\frac{∠ABC}{2}$ $=^{}$ $\frac{45^2}{2}$ $= 22,5^{0}$

Xét ΔABD ta có:

$∠BAD +∠ABD+∠ADB = 180^{0}$ ( áp dụng định lí tổng 3 góc trong 1 tam giác )

⇒ $∠BAD+ 22,5^{0}$ $+ 45^{0}$ $ = 180^{0}$ 

⇒ $∠BAD = 112,5^{0}$ 

⇒ $∠HAD =∠BAD - ∠BAH = 112,5 ^{0}$ $- 45^{0}$ $= 67,5 ^{0}$ (1)

Mặt khác:

$∠BAD +∠DAx = 180 ^{0}$

⇒ $∠DAx = 180^{0}$ $- ∠BAD = 180 ^{0}$ $- 112,5^{0}$ $= 67,5^{0}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

AD là phân giác của ∠HAx 

Xét tam giác ABH ta có:

BD là phân giác trong tại đỉnh B;AD là phân giác ngoài tại đỉnh A

mà BD ∩ AD = { D }

nên HD  là phân giác ngoài tại đỉnh H của tam giác ABH

⇒ $∠AHD = ^{}$ $\frac{∠AHC}{2}$ = $\frac{90 ^0}{2 }$ = $45^{0}$

mà $∠BAH = 45^{0}$ 

nên AB//HD (do có 1 cặp góc bằng nhau ở vị trí so le trong)

Vậy AB//HD (đpcm)