`a)` $∆ABC$ đều (gt)

`=>AB=AC`

`\qquad \hat{BAC}=\hat{ABC}=60°`

`=>\hat{EAD}=\hat{BAC}=60°` (hai góc đối đỉnh)

$\\$

`\qquad AD=AE` (gt)

`=>∆ADE` cân tại $A$

Mà `\hat{EAD}=60°=>∆AED` đều 

`=>\hat{ADE}=60°=\hat{ABC}`

Vì `\hat{ADE}` và `\hat{ABC}` ở vị trí so le trong

`=>ED`//$BC$

`=>BCDE` là hình thang $(1)$

$\\$

Vì $AD=AE; AB=AC$

`=>AD+AB=AC+AE`

`=>BD=EC` $(2)$

Từ `(1);(2)=>BCDE` là hình thang cân (đpcm)

$\\$

`b)` `N` là trung điểm $AD$ (gt)

`=>EN` vừa là đường trung tuyến và đường cao của $∆ADE$ đều

`=>EN`$\perp AD$`=>EN`$\perp AB$ $(3)$

$\\$

$Q$ là trung điểm $AB$ (gt)

`=>CQ` vừa là đường trung tuyến và đường cao $∆ABC$ đều

`=>CQ`$\perp AB$ `\quad (4)`

Từ `(3);(4)=>EN`//$CQ$

`=>CNEQ` là hình thang (đpcm)

$\\$

`c)` $P$ là trung điểm $AC$ (gt)

`=>BP` vừa là đường trung tuyến và đường cao $∆ABC$ đều

`=>BP`$\perp AC$

`=>∆BPE` vuông tại $P$

Vì $M$ là trung điểm $BE$ (gt)

`=>PM` là đường trung tuyến $∆BPE$ vuông tại $P$

`=>PM=1/2BE` $(5)$

$\\$

Vì $EN\perp AB$ (c/m câu b)

`=>∆BNE` vuông tại $N$

$NM$ là trung tuyến $∆BNE$

`=>NM=1/2 BE` $(6)$

$\\$

Xét $∆ACD$ có $P;N$ lần lượt là trung điểm $AC; AD$

`=>PN` là đường trung bình của $∆ACD$

`=>PN=1/2 CD`

Mà $BCDE$ là hình thang cân (câu a)

`=>BE=CD`

`=>PN=1/2BE` $\quad (7)$

$\\$

Từ `(5);(6);(7)=>PM=NM=PN`

`=>∆MNP` là tam giác đều (đpcm)