Vẽ hình bình hành $APMN$

`=>MN=PA; MN` //$PA$; `MP=NA;MP`//$NA$

Vẽ $AH;BK$ lần lượt $\perp PC$ tại $H;K$

Vì $MN$//$PA$

`=>\hat{BMK}=\hat{APH}` (hai góc so le trong)

Xét $∆AHP$ và $∆BKM$ có:

`\qquad \hat{AHP}= \hat{BKM}=90°`

`\qquad \hat{APH}=\hat{BMK}`

`=>∆AHP∽∆BKM` (g-g)

`=>{PA}/{MB}={AH}/{BK}`

$\\$

Ta có: `{MN}/{MB}={PA}/{MB}={AH}/{BK}`

`={1/ 2 AH.MC}/{1/2 BK.MC}={S_{∆MAC}}/{S_{∆MBC}}`

`=>MN=MB. {S_{∆MAC}}/{S_{∆MBC}}`

`=>\vec{MN}=-\vec{MB}. {S_{∆MAC}}/{S_{∆MBC}}` 

$\\$

Vẽ $AF;CG$ lần lượt $\perp BN$ tại $F;G$

Tương tự c/m được: `{MP}/{MC}={NA}/{MC}={AF}/{CG}`

`={1/ 2 AF.MB}/{1/2 CG.MB}={S_{∆MAB}}/{S_{∆MBC}}`

`=>MP=MC.{S_{∆MAB}}/{S_{∆MBC}}`
`=>\vec{MP}=-\vec{MC}. {S_{∆MAB}}/{S_{∆MBC}}` 

$\\$

Áp dụng quy tắc hình bình hành

`=>\vec{MP}+\vec{MN}=\vec{MA}`

`=>-\vec{MC}. {S_{∆MAB}}/{S_{∆MBC}}-\vec{MB}. {S_{∆MAC}}/{S_{∆MBC}}=\vec{MA}`

`=>\vec{MA}=-1/{S_{∆MBC}}.(S_{∆MAC}.\vec{MB}+S_{∆MAB}.\vec{MC})`

`=>S_{∆MBC}.\vec{MA}=-(S_{MAC}.\vec{MB}+S_{∆MAB}.\vec{MC})`

`=>S_{∆MBC}.\vec{MA}+S_{∆MAC}.\vec{MB}+S_{∆MAB}.\vec{MC}=\vec{0}` (đpcm)