`a)` Gọi $O$ là tâm đường tròn đường kính $BC$

`=>O` là trung điểm $BC$

`D;E` thuộc đường tròn đường kính $BC$

`=>OD=OB=OC=1/2BC`

`=>∆DBC` vuông tại $D$ (∆ có trung tuyến `=1/2` cạnh đối diện là ∆ vuông)

`=>BD`$\perp AC$ tại $D$ $(1)$

$\\$

`\qquad OE=OB=OC=1/2BC`

`=>∆EBC` vuông tại $E$

`=>CE`$\perp AB$ tại $E$ $(2)$

Từ `(1);(2)` và $H$ là giao điểm của $BD;CE$

`=>H` là trực tâm $∆ABC$

`=>AH`$\perp BC$ (đpcm)

$\\$

`b)` $∆ABC$ nhọn (gt)

`=>\hat{ABC}\ne 90°; \hat{ACB}\ne 90°`

Vì `CE`$\perp AB$ tại $E$`=>E\ne B`

Vì `BD`$\perp AC$ tại $D$`=>D\ne C`

`=>DE\ne BC`

Mà $DE$ là dây cung của đường tròn đường kính $BC$

`=>DE<BC` (đpcm) (quan hệ đường kính dây cung)

$\\$

`c)` bị trùng câu b rồi

`d)` Vì $BD\perp AC$ tại $D$

`=>∆ADH` vuông tại $D$

Gọi $I$ là trung điểm $AH$

`=>DI` là trung tuyến $∆ADH$

`=>DI=AI=HI=1/2AH` $(3)$

Vì $CE\perp AB$ tại $E$

`=>∆AEH` vuông tại $E$

`=>EI` là trung tuyến $∆AEH$

`=>EI=AI=HI=1/2AH` $(4)$

Từ `(3);(4)=>AI=DI=HI=EI`

`=>` Tâm đường tròn ngoại tiếp $∆ADE$ là trung điểm $I$ của $AH$

$\\$

Vì `DI=HI=>∆IDH` cân tại $I$

`=>\hat{IDH}=\hat{IHD}=\hat{AHD}` 

Xét $∆AHD$ vuông tại $D$

`=>\hat{DAH}+\hat{AHD}=90°` (hai góc phụ nhau)

`=>\hat{DAH}+\hat{IDH}=90°`

Vì `\hat{DAH}=\hat{DBC}` (cùng phụ `\hat{DCB})`

`=>\hat{DBC}+\hat{IDH}=90°` $(5)$

Vì `OD=OB`

`=>∆OBC` cân tại $O$

`=>\hat{ODB}=\hat{DBO}=\hat{DBC}` $(6)$

Từ `(5);(6)=>\hat{ODB}+\hat{IDH}=90°`

`=>\hat{IDO}=90°`

`=>ID`$\perp DO$ (đpcm)