Giải thích các bước giải:

$a)\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC\\ S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}AH.BC\\ \Rightarrow AB.AC=AH.BC$

$b)BD$ là phân giác

$\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{B_2}$

Xét $\Delta BAD$ và $\Delta BHF$

$\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\\ \widehat{BAD}=\widehat{BHF}=90^\circ\\ \Rightarrow \Delta BAD \backsim \Delta BHF\\ c)\Delta BAD \backsim \Delta BHF\\ \Rightarrow \widehat{D_1}=\widehat{F_2}$

Mà $\widehat{F_1}=\widehat{F_2}(đ đ)$

$\Rightarrow \widehat{D_1}= \widehat{F_1}$

$\Rightarrow \Delta AFD$ cân tại $A$

$d)\Delta BAD \backsim \Delta BHF\\ \Rightarrow \dfrac{AD}{HF}=\dfrac{BA}{BH}(1)\\ \widehat{DCB}= \widehat{HAC}=90^\circ\\ \widehat{BAF}= \widehat{HAC}=90^\circ\\ \Rightarrow  \widehat{BAF}=\widehat{DCB}$

Xét $\Delta BAF$ và $\Delta BCD$

$\widehat{BAF}=\widehat{BCD}\\ \widehat{B_1}=\widehat{B_2}\\ \Rightarrow \Delta BAF \backsim \Delta BCD\\ \Rightarrow \dfrac{AF}{CD}=\dfrac{BA}{BC}(2)\\ \widehat{A_3}= \widehat{HAC}=90^\circ\\ \widehat{ACB}= \widehat{HAC}=90^\circ\\ \Rightarrow  \widehat{A_3}=\widehat{ACB}$

Xét $\Delta BHA$ và $\Delta BAC$

$\widehat{BAH}=\widehat{BAC}=90^\circ\\ \widehat{A_3}=\widehat{ACB}\\ \Rightarrow \Delta BHA \backsim \Delta BAC\\ \Rightarrow \dfrac{BH}{BA}=\dfrac{AB}{BC}(3)\\ (1)(2)(3) \Rightarrow \dfrac{AD}{HF}=\dfrac{CD}{AF}\\ \Rightarrow AD.AF=CD.HF\\ e)O=AG \cap BG$

$\Delta AFD$ cân tại $A$ có $AG$ là phân giác đồng thời là đường cao, trung tuyến

$\Rightarrow AG \perp FD, O$ là trung điểm $FD$

$\Delta ABG$ có $BO$ vừa là đường cao, vừa là phân giác

$\Rightarrow \Delta ABG$ cân tại $B$

$\Rightarrow BO$ vừa là đường cao, vừa là phân giác, trung tuyến

$\Rightarrow O$ là trung điểm $AG$

$AFGD$ có 2 đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường

$\Rightarrow AFGD$ là hình thoi

$\Rightarrow FG//AD\\ \Leftrightarrow FG//AC$

$f)\Delta AHC$ vuông tại $H$, trung tuyến $HN$

$\Rightarrow NH=NA=NC$

$\Rightarrow \Delta HNC$ cân tại $N$

$\Rightarrow \widehat{H_2}=\widehat{HCN}\\ \widehat{HCN}=90^\circ-\widehat{HAC}=90^\circ-2\widehat{A_1}\\ \Rightarrow \widehat{H_2}=90^\circ-2\widehat{A_1}\\ \widehat{ANH}=\widehat{H_2}+\widehat{HCN}=2\widehat{H_2}\\ \widehat{M_2}=180^\circ-\widehat{H_2}-\widehat{AGH}\\ =180^\circ-\widehat{H_2}-(90^\circ-\widehat{A_1})\\ =90^\circ-\widehat{H_2}+\widehat{A_1}\\ =90^\circ-(90^\circ-2\widehat{A_1})+\widehat{A_1}\\ =3\widehat{A_1}\\ \widehat{M_1}=180^\circ-\widehat{A_2}-\widehat{ANH}\\ =180^\circ-\widehat{A_1}-2(90^\circ-2\widehat{A_1})\\ =3\widehat{A_1}\\ \Rightarrow \widehat{M_1}=\widehat{M_2}\\ \widehat{M_1}+\widehat{NMG}=180^\circ\\ \Leftrightarrow \widehat{M_2}+\widehat{NMG}=180^\circ\\ \Leftrightarrow \widehat{HMN}=180^\circ$

$\Leftrightarrow H,M,N$ thẳng hàng.