Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Bài 7:

Bổ đề: $ΔMNP$ nội tiếp $(X)$ có $Y$ là trực tâm và $Z$ là trung điểm $NP$

Khi đó ta có: $MY=2.XZ$

Chứng minh:

Gọi $H$ là trực tâm $ΔABC$

Gọi $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ lần lượt là trực tâm $ΔDBC, ΔECA, ΔFAB$

Gọi $I$ là trung điểm $BC$

Khi đó, $AH ⊥ BC$ và $AH=2OI$

$A_{1}D ⊥ BC$ và $A_{1}D=2OI$

$⇒ AH // A_{1}D$ và $AH=A_{1}D$

$⇒ AHA_{1}D$ là hình bình hành

$⇒ A_{1}H // AD$

Tương tự: $B_{1}H // BE$

và $C_{1}H // CF$

Mà $AD // BE // CF$ nên $A_{1}H // B_{1}H // C_{1}H$

Hay $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ thẳng hàng $(đpcm)$

Bài 8: 

a/ Gọi $H$ là trung điểm $AK$

Gọi $E$ trung điểm $BC$

Khi đó, $OH$ là đường trung bình $ΔAKD$

$⇒ OH // DK$ và $OH=\dfrac{1}{2}DK$

Mà $DK // BC$ và $\dfrac{1}{2}DK=\dfrac{1}{2}BC=BE$

nên $OH // BC$ và $OH=BE$

$⇒ OHBE$ là hình bình hành

Vì $\widehat{OEB}=90^0$ nên $OHBE$ là hình chữ nhật

$O, E, B$ là các điểm cố định nên $H$ cố định

Vậy $AK$ luôn đi qua $H$ cố định

b/ Trên tia đối tia $BE$ lấy điểm $G$ và trên tia đối tia $HO$ lấy điểm $F$

sao cho $HBGF$ là hình chữ nhật và $FH=BE$

$⇒ FHEB$ là hình bình hành

$⇒ FB=HE$

Mà $HE=OB$ (hình chữ nhật $OHBE$) nên $FB=OB$ $(1)$

Mặt khác: $OF // GE // KD$ và $OF=2BE=BC=KD$

$⇒ OFKD$ là hình bình hành

$⇒ FK=OD=OB$ $(2)$

Từ $(1), (2)$ suy ra: $FB=FK$

$⇒ K$ thuộc đường tròn tâm $F$ bán kính $FB$

Mà $F, B$ cố định nên đường tròn $(F; FB)$ cố định

Vậy $K$ luôn thuộc đường tròn $(F; FB)$ cố định