Bài 3:

a,

$\Delta ABC$ cân tại $A$ có $AD$ là đường cao nên cũng là trung tuyến 

$\to D$ là trung điểm $BC$

$\to BD=\dfrac{BC}{2}=6(cm)$

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $D$ có:

$AD^2+BD^2=AB^2$ (Pytago)

$\to AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8(cm)$

b,

$G$ là trọng tâm $\Delta ABC$ nên là giao của ba đường trung tuyến 

Mà $AD$ là trung tuyến nên $G\in AD$

Vậy $A, G, D$ thẳng hàng 

c,

$\Delta ABC$ cân tại $A$ có $AG$ là đường cao nên cũng là phân giác 

Xét $\Delta ABG$ và $\Delta ACG$ có:

$\widehat{BAG}=\widehat{CAG}$

$AB=AC$ ($\Delta ABC$ cân tại $A$)

$AG$ chung 

$\to \Delta ABG=\Delta ACG$ (c.g.c)

Bài 4:

a,

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta EBD$ có:

$\widehat{BAD}=\widehat{BED}=90^o$

$\widehat{ABD}=\widehat{EBD}$ 

$BD$ chung 

$\to \Delta ABD=\Delta EBD$ (ch-gn) (*)

b,

Gọi $I$ là giao điểm của $BD$ và $AE$ 

Có $\Delta ABD=\Delta EBD$ (cmt) nên $BA=BE$ 

Xét $\Delta ABI$ và $\Delta EBI$ có:

$BA=BE$

$\widehat{ABI}=\widehat{EBI}$

$BI$ chung 

$\to \Delta ABI=\Delta EBI$ (c.g.c)

$\to AI=EI, \widehat{AIB}=\widehat{EIB}=90^o$ (do hai góc $\widehat{AIB}$ và $\widehat{EIB}$ kề bù)

$\to BD\bot AE$ tại trung điểm $I$ của $AE$

Vậy $BD$ là trung trực của $AE$ 

c,

Từ (*) $\to DA=DE$

Xét $\Delta FAD$ và $\Delta CED$ có:

$\widehat{FAD}=\widehat{CED}=90^o$

$FA=CE$

$AD=ED$

$\to \Delta DAF=\Delta DEC$ (c.g.c)

$\to \widehat{ADF}=\widehat{EDC}$ 

Ta có: $BA=BE, AF=EC$

$\to BA+AF=BE+EC$

$\to BF=BC$

$\to \Delta BFC$ cân tại $B$ 

Mà $BD$ là phân giác nên $BD$ là đường cao $\Delta BFC$ 

Mặt khác $CD\bot BF=A, BD\cap CD=D$ nên $D$ là trực tâm $\Delta BFC$ 

$\to FD\bot BC$ 

Mà $DE\bot BC$ nên $FD\equiv DE$ 

Vậy $F, D, E$ thẳng hàng 

Đáp án+Giải thích các bước giải:

Bài `3:`

`a) ΔABC` cân tại `A` có `AD` là đường cao ứng với cạnh `BC`

              `=> AD` đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh `BC`

             `=> AD=1/2BC=1/2 . 12 = 6(cm)`

   `ΔADB` vuông tại `D`

         `=> AB^2=AD^2+BD^2`(Định lí `Pytago)`

        hay `10^2 = 6^2 + BD^2`

            `=> BD^2=10^2-6^2=64`

            `=> BD = 8(cm)`

`b) ΔABC` có `AD` là đường trung tuyến ứng với cạnh `BC`

          mà `G` là trọng tâm của `ΔABC`

              `=> A, G, D` thẳng hàng

`c)  ΔABC` cân tại `A` có `AD` là đường cao ứng với cạnh `BC`

              `=> AD` đồng thời là đường phân giác của `\hat{BAC}`

               `=> \hat{BAG}=\hat{CAG}`

      Xét `ΔABG` và `ΔACG` có:

                `AB=AC(ΔABC` cân tại `A)`

               ` \hat{BAG}=\hat{CAG}`

                `AG` chung

            `=> ΔABG=ΔACG(c.g.c)`

             `=> \hat{ABG}=\hat{ACG}(2` góc tương ứng)

Bài `4:`

`a)` Xét `ΔBAD` và `ΔBED` có:

         `\hat{BAD}=\hat{BED}(=90^o)`

            `BD` chung

          `\hat{ABD}=\hat{EBD}`

      `=> ΔBAD=ΔBED(` cạnh huyền-góc nhọn) `(1)`

`b)` Từ `(1) => AB=BE(2` cạnh tương ứng)

                  và `AD=DE(2` cạnh tương ứng)

    Ta có: `B` cách đều `A` và `E`

               `D` cách đều `A` và `E`

    `=> BD` là đường trung trực của `AE`

`c) ΔABC` vuông tại `A`

       `=> \hat{C}+\hat{ABC}=90^o(2)`

   `ΔBEF` vuông tại `E`

        `=>\hat{F}+ \hat{ABC}=90^o(3)`

Từ `(2), (3) => \hat{C}=\hat{F}`

        mà `\hat{C}+\hat{EDC}=90^o`

               `\hat{F}+\hat{ADF}=90^o`

          `=> \hat{EDC}=\hat{ADF}`

Lại có: `\hat{ADF}+\hat{FDC}=180^o`

           `\hat{EDC}+\hat{FDC}=\hat{EDF}` 

       mà `\hat{EDC}=\hat{ADF}`

           `=> \hat{EDF}=180^o`

          `=> E, D, F` thẳng hàng