Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABD,\Delta ACE$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{ADB}=\widehat{AEC}(=90^o)$

$\to\Delta ABD\sim\Delta ACE(g.g)$

$\to\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AE}$

$\to AE.AB=AD.AC$

b.Xét $\Delta ADE,\Delta ACB$ có:

Chung $\hat A$

$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$ vì $ AE.AB=AD.AC$

$\to\Delta AED\sim\Delta ACB(c.g.c)$

c.Xét $\Delta HBE,\Delta HCD$ có:

$\widehat{EHB}=\widehat{DHC}$

$\widehat{HEB}=\widehat{HDC}(=90^o)$

$\to\Delta HBE\sim\Delta HCD(g.g)$

$\to\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{HE}{HD}$

$\to HC.HE=HB.HD=6$

Mà $CE=7\to HC=CE-HE=7-HE$

$\to (7-HE)HE=6$

$\to 7HE-HE^2=6$

$\to HE^2-7HE+6=0$

$\to (HE-1)(HE-6)=0$

$\to HE\in\{1,6\}$

Nếu $HE=1\to HC=7$

Nếu $HE=6\to HE=1$

d.Gọi $CN//PQ, N\in AB$

Gọi $K$ là trung điểm $CN$

$\to MK$ là đường trung bình $\Delta BCN$

$\to MK//BN$

Mà $CE\perp AB\to MK\perp CH$

Lại có $PQ/CN, HM\perp PQ\to HM\perp KC$

$\to M$ là trực tâm $\Delta HCK$

$\to CM\perp HK$

$\to HK\perp BC$

Do $AH\perp BC$

$\to A, H, K$ thẳng hàng

$\to \dfrac{HP}{KN}=\dfrac{AH}{AK}=\dfrac{HQ}{KC}$

$\to HP=HQ$ vì $K$ là trung điểm $CN$