Đáp án:

 Bài 5:

a, Gọi` ƯCLN(3n + 2; 5n + 3)` là d

Ta có:

`3n + 2 \vdots d ⇒ 5 . (3n + 2) = 15n + 10 \vdots d`

`5n + 3 \vdots d ⇒ 3 . (5n + 3) = 15n + 9 \vdots d`

`⇒ (15n + 10) - (15n + 9) = 1 \vdots d`

`⇒ d \in Ư(1) = {±1}`

Vậy phân số `(3n + 2)/(5n + 3) ` luôn tối giản với mọi `n \in Z`

b, Để `(6n - 3)/(2n + 1)` là số tự nhiên thì :  `(n \ne -1/2)`

`6n - 3 \vdots 2n + 1`

` 6n - 3 - (6n + 3) \vdots 2n + 1`

` -6 \vdots 2n + 1`

Hay 2n + 1 là ước của -6

`Ư(-6) = { - 6 ; -3 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 6}`

Mà `2n + 1 ≥ -1/2` với `n \in N`

`⇒ 2n + 1 \in { 1 ; 2 ; 3 ; 6}`

Nếu `2n + 1 = 1` thì:

`2n = 1- 1`

`2n = 0`

` n  = 0 (TM)`

Nếu `2n + 1 = 2` thì:

`2n = 2 - 1`

`2n = 1`

` n  = 1/2 (TM)`

Nếu `2n + 1 = 3` thì:

`2n = 3 - 1`

`2n = 2`

` n  = 1 (TM)`

Nếu `2n + 1 = 6` thì:

`2n = 6 - 1`

`2n = 5`

`n   = 5/2 (TM)`

Vậy để `(6n - 3)/(2n + 1) `là số tự nhiên thì: `n \in {1/2 ; 1 ; 5/2 ; 0}`

Lời giải:

Bài 5:

a, Gọi `ƯCLN(3n + 2; 5n + 3) = d`

Ta có:

`3n + 2 \vdots d => 5(3n + 2) = 15n + 10 \vdots d` `(1)`

`5n + 3 \vdots d => 3(5n + 3) = 15n + 9 \vdots d` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`=> (15n + 10) - (15n + 9) \vdots d`

hay `1 \vdots d`

`=> d \in {+-1}`

Vậy `(3n + 2)/(5n + 3)` là phân số tối giản

b, Để `(6n - 3)/(2n + 1)` là số tự nhiên thì `6n - 3 \vdots 2n + 1`

Ta có:

`6n - 3 \vdots 2n + 1`

`6n + 3 - 6 \vdots 2n + 1`

`3(2n + 1) - 6 \vdots 2n + 1`

Mà `3(2n + 1) \vdots 2n + 1`

`=> 6 \vdots 2n + 1`

`=> 2n + 1 \in Ư(6)`

`Ư(6) = {+-1; +-2; +-3; +-6}`

Lập bảng

\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{$2n + 1$}&\text{1}&\text{$-1$}&\text{2}&\text{$-2$}&\text{3}&\text{$-3$}&\text{6}&\text{$-6$}\\\hline \text{$n$}&\text{0}&\text{$-1$}&\text{$\dfrac{1}{2}$}&\text{$\dfrac{-3}{2}$}&\text{1}&\text{$-2$}&\text{$\dfrac{5}{2}$}&\text{$\dfrac{-7}{2}$}\\\hline \end{array}

Vậy `n \in {0; -1; 1/2; (-3)/2; 1; -2; 5/2; (-7)/2}`